Question

सभी $n \in N$ के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए की : $\dfrac{1}{1.4}+\dfrac{1}{4.7}+\dfrac{1}{7.10}+...+\dfrac{1}{(3n+2)(3n+1)}=\dfrac{n}{(3n+1)}$.

Answer 1

Answer:  गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n∈N,n के सभी मानों के लिए सत्य है।

Step-by-step explanation:

माना P(n) : $\frac{1}{1 . 4}$ + $\frac{1}{4 . 7}$ + $\frac{1}{7 . 10}$ + ..... + $\frac{1}{(3n-2)(3n+1)}$ = $\frac{n}{3n+1}$

n = 1 के लिए बायाँ पक्ष = $\frac{1}{1 . 4}$

                                  = $\frac{1}{4}$

दायाँ पक्ष = $\frac{n}{3n+1}$

              = $\frac{1}{3+1}$ = $\frac{1}{4}$

∴  P(n), n = 1 के लिए सत्य है।

मान लिया P(n), n = k के लिए सत्य है।

∴ $\frac{1}{1 . 4}$ + $\frac{1}{4 . 7}$ + $\frac{1}{7 . 10}$ + ...... + $\frac{1}{(3k-2)(3k+1)}$ = $\frac{k}{3k+1}$

(k+1) वाँ पद = $\frac{1}{[3(k+1)-2][3(k+1)+1]}$

                 = $\frac{1}{(3k+1)(3k+4)}$ को दोनों पक्षों में जोड़ने पर

$\frac{1}{1 . 4}$ + $\frac{1}{4 . 7}$ + $\frac{1}{7 . 10}$ + ....... + $\frac{1}{(3k-2)(3k+1)}$ + $\frac{1}{(3k+1)(3k+4)}$ = $\frac{k}{3k+1}$ + $\frac{1}{(3k+1)(3k+4)}$

       

          = $\frac{1}{3k+1}$ $\left[\begin{array}{ccc}\\k\frac{1}{3k+4}\end{array}\right]$

          = $\frac{k(3k+4)+1}{(3k+1)(3k+4)}$

          = $\frac{(3k+1)(k+1)}{(3k+1)(3k+4)}$

          = $\frac{k+1}{3(k+1)+1}$

P(n), n = k+1  के लिए सत्य है।

अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n∈N,n के सभी मानों के लिए सत्य है।