Question

सभी $n \in N$ के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए की : $\dfrac{1}{3.5}+\dfrac{1}{5.7}+\dfrac{1}{7.9}+...+\dfrac{1}{(2n+1)(2n+3)}=\dfrac{n}{3(2n+3)}$.

Answer 1

Answer:  गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n∈N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

Step-by-step explanation:

माना P(n) : $\frac{1}{3 . 5}$ + $\frac{1}{5 . 7}$ + $\frac{1}{7 . 9}$ + ..... + $\frac{1}{(2n+1)(2n+3)}$ = $\frac{n}{3(2n+3)}$

n = 1 के लिए बायाँ पक्ष = $\frac{1}{3 . 5}$

                                  = $\frac{1}{15}$

दायाँ पक्ष = $\frac{n}{3(2n+3)}$

              = $\frac{1}{3 . 5}$ = $\frac{1}{15}$

∴  P(n), n = 1 के लिए सत्य है।

मान लिया P(n), n = k के लिए सत्य है।

∴ $\frac{1}{3 . 5}$ + $\frac{1}{5 . 7}$ + $\frac{1}{7 . 9}$ + ...... + $\frac{1}{(2k+1)(2k+3)}$ = $\frac{k}{3(2k+3)}$

(k+1) वाँ पद = $\frac{1}{[2(k+1)+1][2(k+1)+3]}$

                 = $\frac{1}{(2k+3)(2k+5)}$ को दोनों पक्षों में जोड़ने पर

$\frac{1}{3 . 5}$ + $\frac{1}{5 . 7}$ + $\frac{1}{7 . 9}$ + ....... + $\frac{1}{(2k+1)(2k+3)}$ + $\frac{1}{(2k+3)(2k+5)}$ = $\frac{k}{3(2k+3)}$ + $\frac{1}{(2k+3)(2k+5)}$

       

          = $\frac{1}{(2k+3)}$  $\left[\begin{array}{ccc}\frac{k(2k+5)+3}{3(2k+5)}\\\end{array}\right]$

          = $\frac{2k^{2}+5k+3}{3(2k+3)(2k+5)}$

          = $\frac{(k+1)(2k+3)}{3(2k+3)(2k+5)}$

          = $\frac{k+1}{3(2k+5)}$

          = $\frac{k+1}{3[2(k+1)+3]}$

P(n), n = k+1 के लिए सत्य है।

अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n∈N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।