Question

सभी $n \in N$ के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए की : $1+2+3+...+n\ \textless \ \dfrac{1}{8}(2n+1)^{2}$.

Answer 1

Answer:

Step-by-step explanation:

1)  माना कि    $p(n)=1+2+3+.....+n<\frac{1}{8} (2n+1)^{2}$

2) सिद्ध करना है कि   P(1)  सत्य है | ∴ n=1   के लिए  

$1<\frac{1}{8} (2*1+1)^{2}$

या   $1<\frac{9}{8}$  जो कि  सत्य है।  

अतः  P(1)  सत्य है।  

3)  माना कि  P(k)  भी सत्य होगा। या  

$1+2+3+....+k<\frac{1}{8} (2k+1)^{2}$

4)  सिद्ध करना है कि  P(k+1)  सत्य है। या  

$1+2+3+....+(k+1)<\frac{1}{8} (2k+3)^{2}$

अतः  $1+2+3+....+k<\frac{1}{8} (2k+1)^{2}$

दोनों पक्षों में  k+1  जोड़ने  पर  

$1+2+3+....+k+(k+1)<\frac{1}{8} (2k+1)^{2}+(k+1)$

$L.H.S. <\frac{1}{8} (2k+1)^{2}+(k+1)\\<\frac{1}{8} [(2k+1)^{2}+8(k+1)\\<\frac{1}{8} [4k^{2}+1+4k+8k+8]\\<\frac{1}{8} [4k^{2}+12k+9]\\<\frac{1}{8} (2k+3)^{2}$

अतः  P(k+1)  सत्य है।  

5)  जब   P(n) ,  n = 1 तथा  n=k+1  के लिए सत्य है तो यह  n=k के लिए भी सत्य होगा जबकि  n∈N