Question

सभी $n \in N$ के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए की : $n(n+1)(n+5)$ संख्या $3$ का एक गुणज हैl

Answer 1

Proof :

We use the principle of induction to prove the statement.

Let, P(n) = n(n + 1)(n + 5)

So, P(1) = 1(1 + 1)(1 + 5)

= 2 * 6

= 12 , a multiple of 3

Let, P(k) is true.

Then, k(k + 1)(k + 5) is a multiple of 3

↬ k(k + 1)(k + 4) = 3p , where p is any natural number

Now, P(k + 1)

= (k + 1){(k + 1) + 1}{(k + 1) + 5}

= (k + 1){(k + 1) + 1}{(k + 5) + 1}

= (k + 1){(k + 1)(k + 5) + k + 1 + k + 5 + 1}

= (k + 1){(k + 1)(k + 5) + (2k + 7)}

= k(k + 1)(k + 5) + (k + 1)(k + 5) + k(2k + 7) + 2k + 7

= 3p + k² + 6k + 5 + 2k² + 7k + 2k + 7

= 3p + 3k² + 15k + 12

= 3(p + k² + 5k + 4) , a multiple of 3

By the principle of induction, the statement is true for all natural numbers n.

Answer 2

Answer: गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n€N , n के सभी मानों के लिए सत्य है।

Step-by-step explanation:

मान लीजिये

P(n) : n(n+1)(n+5), संख्या 3 का गुणज है

n = 1 के लिए n(n+1)(n+5) = 1.2.6 = 12 जो 3 का गुणज है।

P(n), n = 1 के लिए सत्य है

मान लीजिये P(n), n = k के लिए सत्य है।

            k(k+1)(k+5) =3m

या         $k^{3}$ + 6$k^{2}$ + 5 = 3m

k के स्थान पर k + 1 रखने पर

$(k+1)^{3}$+6$(k+1)^{2}$+5(k+1) = ($k^{3}$ + 3$k^{2}$ + 3k +1) + 6($k^{2}$+2k+1) + 5k + 5

         = $k^{3}$ + 9$k^{2}$ + 20k + 12

         = ($k^{3}$ + 6$k^{2}$ + 5k) + (3$k^{2}$ + 15k + 12)

         = 3m + 3($k^{2}$ + 5k + 4)

यह 3 का एक गुणज है।

P(n), n = k +1 के लिए भी सत्य है।

अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n€N , n के सभी मानों के लिए सत्य है।