Question

सभी $n \in N$ के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए की : $x^{2n}-y^{2n}$ x+y से भाज्य है l

Answer 1

Proof :

We use the principle of induction to prove the given statement.

Let, f(n) = $\mathsf{x^{2n}-y^{2n}}$

f(1) = $\mathsf{x^{2}-y^{2}}$

= (x + y) (x - y) , divisible by (x + y)

Let, f(k) is true.

∴ $\mathsf{(x^{2k}-y^{2k})}$ is divisible by (x + y)

↬ $\mathsf{x^{2k}-y^{2k}}$ = p(x + y) , p being any natural number

↬ $\mathsf{x^{2k}=p(x+y)+y^{2k}}$

Now, f(k + 1)

= $\mathsf{x^{2k+2}-y^{2k+2}}$

= $\mathsf{x^{2k}*x^{2}-y^{2k}*y^{2}}$

= $\mathsf{\{p(x+y)+y^{2k}\}*x^{2}-y^{2k}*y^{2}}$

= $\mathsf{p(x+y)x^{2}-y^{2k}*x^{2}-y^{2k}*y^{2}}$

= $\mathsf{p(x+y)x^{2}-y^{2k}(x^{2}-y^{2})}$

= $\mathsf{p(x+y)x^{2}-y^{2k}(x+y)(x-y)}$

= $\mathsf{(x+y)\{px^{2}-y^{2k}(x-y)\}}$ ,

which is a divisible by (x + y)

By the principle of induction, the statement is true for all natural numbers n.

Hence, proved.

Answer 2

Answer:  गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n∈N , n के सभी मानों के लिए सत्य है।

Step-by-step explanation:

मान लीजिए

P(n) : $x^{2n}$ - $y^{2n}$ , x+y से विभाजित होता है।

n = 1 के लिए $x^{2}$ - $y^{2}$ =  (x-y)(x+y) जो x+y से विभक्त होता है।

P(n), n = 1 के लिए सत्य है।

मान लीजिये P(n), n = k के लिए सत्य है।

∴ $x^{2k}$ - $y^{2k}$ , x+y से विभक्त होता है।

या         $x^{2k}$ - $y^{2k}$ = m(x+y)

या        $x^{2k}$ = m(x+y) + $y^{2k}$            .....…(1)

k के स्थान पर k+1 रखने पर, सिद्ध करना है की

$x^{2(k+1)}$ -$y^{2(k+1)}$  , x+y से विभक्त होता है।

$x^{2(k+1)}$ -$y^{2(k+1)}$ = $x^{2}$ . $x^{2k}$ - $y^{2k+2}$

              = $x^{2}$ [m(x+y)+$y^{2k}$ ] - $y^{2k+2}$

(1) से $x^{2k</p><p>}$ का मान रखने पर,

             = m(x+y) $x^{2}$ + $x^{2}$ $y^{2k}$ - $y^{2k+2}$

             = m(x+y) $x^{2}$ + $y^{2k}$ ( $x^{2}$ - $y^{2}$ )

             = (x+y) [m$x^{2}$ + $y^{2k}$ (x-y)

इससे सिद्ध होता है की $x^{2(k+1)}$ - $y^{2(k+1)}$  , x+y से विभाजित होता है।

P(n), n = k + 1 के लिए भी सत्य है।

अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n∈N , n के सभी मानों के लिए सत्य है।