Question

सभी $n \in N$ के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए की : $10^{2n-1}+1$ संख्या $11$ से भाज्य हैl

Answer 1

Solution :

We use the principle of induction to prove the given statement.

Let, f(n) = $\mathsf{10^{2n-1}+1}$

• Step 1 :

f(1) = $\mathsf{10^{2-1} +1}$

= $\mathsf{10^{1} +1}$

= 10 + 1

= 11 , which is divisible by 11

• Step 2 :

Now, f(k + 1) - f(k)

= $\mathsf{(10^{2(k+1)-1}+1)-(10^{2k-1}+1)}$

= $\mathsf{10^{2k+2-1}+\cancel{1}-10^{2k-1}-\cancel{1}}$

= $\mathsf{10^{2k+1}-10^{2k-1}}$

= $\mathsf{10^{2k-1}*(10^{2}-1)}$

= $\mathsf{(100-1)*10^{2k-1}}$

= $\mathsf{99*10^{2k-1}}$

which is divisible by 11.

Therefore, f(k + 1) is divisible by 11 if f(k) is so.

This proves that the statement is true for k + 1 if it is true for k.

By the principle of induction, the statement is true for all natural numbers n.

Hence, proved.

Answer 2

Answer: गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n∈N , n के सभी मानों के लिए सत्य है।

Step-by-step explanation:

माना

P(n) : $10^{2n-1}$ + 1 संख्या 11 से विभाजित होती है।

n = 1 के लिए $10^{2n-1}$ + 1 = $10^{2n-1}$ + 1 = 11

P(n), n = 1 के लिए सत्य है

मान लीजिये P(n), n = k के लिए सत्य है।

$10^{2k-1}$ + 1, संख्या 11 से विभाजित होती है।

या $10^{2k-1}$ + 1 = 11m (माना)

k को k+1 से बदलने पर

$10^{(2k+1)-1}$ + 1 = $10^{2k+1}$ + 1

                          = $10^{2}$.$10^{2k-1}$ + 1

                          = $10^{2}$($10^{2k-1}$ + 1) -100 + 1

                          = 100.11m-99

                          = 11(100m-9)

इससे सिद्ध हुआ की $10^{2k+1}$ +1 भी 11 से विभाजित होता है।

P(n), n = k+1 के लिए भी सत्य है।

अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n∈N , n के सभी मानों के लिए सत्य है।