Question

सभी $n \in N$ के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए की : $3^{2n+2}-8n-9$ संख्या $8$ से भाज्य है l

Answer 1

Solution :

We use the principle of induction to prove the given statement.

Let, f(n) = $\mathsf{3^{2n+2}-8n-9}$

• Step 1 :

f(1) = $\mathsf{3^{2+2} - 8 - 9}$

= $\mathsf{3^{4} - 17}$

= 81 - 17

= 64, which is divisible by 8

• Step 2 :

Now, f(k + 1) - f(k)

= $\tiny{\mathsf{\{3^{2(k+1)+2}-8(k+1)-9\}-(3^{2k+2}-8k-9)}}$

= $\small{\mathsf{3^{2k+2+2}-\cancel{8k}-8-\cancel{9}-3^{2k+2}+\cancel{8k}+\cancel{9}}}$

= $\mathsf{3^{2k+4}-3^{2k+2}-8}$

= $\mathsf{3^{2k}*3^{4}-3^{2k}*3^{2}-8}$

= $\mathsf{3^{2k}(3^{4}-3^{2})-8}$

= $\mathsf{3^{2k}(81-9)-8}$

= $\mathsf{72*3^{2k}-8}$

= $\mathsf{8(9*3^{2k}-1)}$ ,

which is divisible by 8.

Therefore, f(k + 1) is divisible by 8 if f(k) is so.

This proves that the statement is true for k + 1 if it is true for k.

By the principle of induction, the statement is true for all natural numbers n.

Hence, proved.

Answer 2

Answer: गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n∈N , n के सभी मानों के लिए सत्य है।

Step-by-step explanation:

मान लीजिए

P(n) : $3^{2n+2}$ - 8n - 9 संख्या 8 से विभक्त्त होती है।

n = 1 के लिए,

  $3^{2n+2}$ - 8n - 9 = $3^{2+2}$ - 8 . 1 - 9

                    =  $3^{4}$ - 8 - 9

                    = 81 - 17 = 64

जो 8 से विभाजित है।

(n), n = 1 के लिए सत्य है।

मान लीजिये P(n), n = k के लिए सत्य है अर्थात

     $3^{2k+2}$ - 8k - 9, संख्या 8 से विभक्त्त होती है।

या   $3^{2k+2}$ - 8k - 9 = 8m

              ∴   $3^{2k+2}$   = 8m + 8k + 9

k को k + 1 से बदलने पर,

        $3^{2(k+1)+2}$ - 8(k+1) - 9 = $3^{2}$ . $3^{2k+2}$ - 8(k+1) - 9

                               = 9(8m + 8k +9) - 8k - 17

                               = 9(8m + 8k) + 81 - 8k  - 17

                               = 72m + 64k + 64

                               = 8(9m + 8k + 8)

यह भी 8 से विभक्त्त होता है।

P(n), n = k + 1 के लिए भी सत्य है।

अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n∈N , n के सभी मानों के लिए सत्य है।