Question

सभी $n \in N$ के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए की : $41^{n}-14^{n}$ संख्या $27$ का एक गुणज हैl

Answer 1

We use the principle of induction to prove the statement.

Let, f(n) = $\mathsf{41^{n}-14^{n}}$

• Step 1 :

f(1) = $\mathsf{41^{1}-14^{1}}$

= 41 - 14

= 27 , a multiple of 27

• Step 2 :

Let, f(k) is true.

Then, $\mathsf{41^{k}-14^{k}}$ is a multiple of 27

↬ $(\mathsf{41^{k}-14^{k})}$ = 27p (say)

Now, f(k + 1)

= $\mathsf{41^{k+1}-14^{k+1}}$

= $\mathsf{41*41^{k}-14*14^{k}}$

= $\mathsf{(27+14)*41^{k}-14*14^{k}}$

= $\mathsf{27*41^{k}+14*41^{k}-14*14^{k}}$

= $\mathsf{27*41^{k}+14(41^{k}-14^{k})}$

= $\mathsf{27*41^{k}+14*27p}$

= $\mathsf{27(41^{k}+14p)}$ , a multiple of 27

By the principle of induction, the statement is true for all natural numbers n.

Answer 2

Answer: गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n∈N , n के सभी मानों के लिए सत्य है।

Step-by-step explanation:

मान लीजिए

P(n) : $41^{n}$ - $14^{n}$ संख्या 27 का गुणज है।

n = 1 के लिए,

$41^{n}$ - $14^{n}$ = 41 - 14 = 27

P(n), n = 1 के लिए सत्य है।

माना, P(n), n = k के लिए सत्य है।

$41^{k}$ - $14^{k}$= 27m

$41^{k}$ = 27m + $14^{k}$

k के स्थान पर k + 1 रखने पर,

$41^{k+1}$ - $14^{k+1}$ = 41.$41^{k}$ - $14^{k+1}$

[ $41^{k}$ = 27m + $14^{k}$ रखने पर]

= 41[27m + $14^{k}$] - $14^{k+1}$

= 27 . 41m + 41 . $14^{k}$ - $14^{k+1}$

= 27 . 41m + $14^{k}$ . 27

= 27[41m + $14^{k}$]

जो की 27 से विभक्त्त होता है।

P(n), n = k + 1 के लिए भी सत्य है।

अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n∈N , n के सभी मानों के लिए सत्य है।