समुच्चय (1, 2, 3, 4, 5) में, निम्नलिखित संक्रिया सारणी (सारणी 1.2) द्वारा परिभाषित,
द्विआधारी संक्रिया * पर विचार कौजिए तथा
(i) (2 * 3) * 4 तथा 2 * (3 * 4) का परिकलन कीजिए।
(ii) क्या * क्रमविनिमेय है ?
(iii) (2 * 3) * (4 * 5) का परिकलन कीजिए।
(संकेत: निम्न सारणी का प्रयोग कीजिए।)
Answers
Given : समुच्चय (1, 2, 3, 4, 5) में, निम्नलिखित संक्रिया सारणी (सारणी 1.2) द्वारा परिभाषित,
To find : (2 * 3) * 4 तथा 2 * (3 * 4) का परिकलन कीजिए
Solution :
संक्रिया सारणी
* 1 2 3 4 5
1 1 1 1 1 1
2 1 2 1 2 1
3 1 1 3 1 1
4 1 2 1 4 1
5 1 1 1 1 5
a ✱’ b = a तथा b का H.C.F
1 * 1 = 1 , 1 * 2 = 1 , 1 * 3 = 1 , 1 * 4 = 1 , 1 * 5 = 1
2* 1 = 1 , 2 * 2 = 2 2 * 3 = 1 2 * 4 = 1 2 * 5 = 1
3 * 1 = 1 3 * 2 = 1 3 * 3 = 3 3 * 4 = 1 3 * 5 = 1
4 * 1 = 1 4 * 2 = 2 4 * 3 = 1 4 * 4 =4 4 * 5 = 1
5 * 1 = 1 5 * 2 = 1 5 * 3 = 1 5 * 4 = 1 5 * 5 = 5
(2 * 3) * 4
= ( 1) * 4
= 1 * 4
= 1
2 * ( 3 * 4)
= 2 * (1)
= 2 * 1
= 1
हाँ क्रमविनिमेय है
(2 * 3) * (4 * 5)
= (1) * (1)
= 1 * 1
= 1
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Answer:
(i) दी गई सारणी से
(2 * 3) * 4 = 1 * 4 = 1
तथा 2 * (3 * 4) = 2 * 1 = 1
(ii) माना a, b ϵ {1, 2, 3, 4, 5}
∴ सारणी से, a * a = a (a ≠ b) तथा a, b विषम संख्या है
a * b = b * a = 1
2 * 4 = 4 * 2 = 2 जहाँ a तथा b सम संख्या तथा a ≠ b
अतः a * b = b * a
अतः द्विआधारी संक्रिया क्रम विनिमेय है।
(iii) सारणी से,
(2 * 3) * (4 * 5) = 1 *1
= 1
