निर्धारित कीजिए कि क्या निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित प्रत्येक संक्रिया * से एक द्विआधारी संक्रिया प्राप्त होती हे या नहीं। उस दशा में जब * एक द्विआधारी संक्रिया नहीं है, औचित्य भी बतलाइए।
(i) Z⁺ में, a * b = a- b द्वारा परिभाषित संक्रिया *
(ii) Z⁺ में, a * b = ab द्वारा परिभाषित संक्रिया *
(iii) R में, संक्रिया * , a * b = ab² द्वारा परिभाषित
(iv) Z में, संक्रिया *, a * b = |a - b। द्वारा परिभाषित
(v) Z⁺ में, संक्रिया *, a * b = a द्वारा परिभाषित
Answers
Given : Z⁺ में, a * b = a- b द्वारा परिभाषित संक्रिया
To find : निर्धारित कीजिए कि परिभाषित प्रत्येक संक्रिया * से एक द्विआधारी संक्रिया प्राप्त होती हे या नहीं
Solution :
Z⁺ में, a * b = a- b द्वारा परिभाषित संक्रिया *
a ∈ Z⁺
b ∈ Z⁺
Z⁺ = { 1 , 2 , 3 ...................................}
a * b = a- b
माना a = 3 b = 2
=> a * b = 3 - 2 = 1 ∈ Z⁺
माना a = 2 , b = 3
=> a * b = 2 - 3 = - 1 ∉ Z⁺
=> प्रत्येक संक्रिया * से एक द्विआधारी संक्रिया प्राप्त नहीं होती हे
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Step-by-step explanation:
(i) Z
में, a* b = a – b द्वारा परिभाषित संक्रिया है
यदि a > b, a * b = a – b ϵ Z
परन्तु यदि a < b, a * b = a – b < 0, Z
में नहीं है।
अत:* संक्रिया द्विआधारी संक्रिया नहीं है।
(ii) Z
पर * संक्रिया, a * b = ab द्वारा परिभाषित है।
यदि a, b ϵ Z
⇒ a और b दोनों धनात्मक हैं।
a * b = ab भी धनात्मक है।
ab ϵ Z
अतः यह संक्रिया द्विआधारी है।
(iii) R पर * संक्रिया a* b = ab
द्वारा परिभाषित है।
यदि a, b ϵ R, ab^2
भी R* में है।
अतः यह संक्रिया द्विआधारी है।
(iv) Z
पर * संक्रिया a * b = |a – b| द्वारा परिभाषित है।
यदि a, b ϵ Z+
, |a – b | ϵ Z
अंत: यह संक्रिया द्विआधारी है।
(v) Z
पर * संक्रिया a* b = a द्वारा परिभाषित है।
यदि a, b ϵ Z+
, ∴ a * b = a ϵ Z
अत: यह संक्रिया द्विआधारी है।