मान लीजिए कि f(x) = 4x/(3x +4) व य द्वारा परिभाषित एक फलन f: r- {-4/3}→ R हेै। f का प्रतिलोम, अर्थात् प्रतिचित्र (Map) g : परिसर f → R {-4/3} , निम्नलिखित में से किसके द्वारा प्राप्त होगा:
(A) g(y) =3y/(3-4y) (B) g(y) = 4y/(4-3y)
(C) g(y) = 4y/(3-4y) (D) g(y) = 3y/(4-3y)
Answers
Given : f(x) = 4x/(3x +4) f: R- {-4/3} → R
To find : f का प्रतिलोम g परिसर f → R {-4/3}
Solution :
फलन व्युत्क्ररणीय है है ( फलन के प्रतिलोम हैं ) यदि फलन एकैक (Injective) तथा आच्छादी (Surjective)
f(x) = 4x/(3x +4)
f(x₁) = 4x₁/(3x₁ +4)
f(x₂) = 4x₂/(3x₂ +4)
f(x₁) = f(x₂)
=> 4x₁/(3x₁ +4) = 4x₂/(3x₂ +4)
=> x₁/(3x₁ +4) = x₂/(3x₂ +4)
=> 3x₁x₂ + 4x₁ = 3x₂x₁ + 4x₂
=> 4x₁ = 4x₂
=> x₁ = x₂
=> फलन एकैक (Injective)
f(x) = y
=> 4x/(3x +4) = y
=> 4x = 3xy + 4y
=> x ( 4 - 3y) = 4y
=> x = 4y/(4 - 3y)
f(x) = 4x/(3x +4)
= 4 (4y/(4 - 3y)) / ( 3 (4y/(4 - 3y)) + 4)
= 16y / ( 12 y + 16 - 12y)
= 16y /16
= y
=> फलन आच्छादी (Surjective)
=> फलन व्युत्क्ररणीय है
x = 4y/(4 - 3y)
=> g(y) = 4y/(4 - 3y)
(B) g(y) = 4y/(4-3y)
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