Question

show that
$z - \overline { z } = 2 \operatorname { Im } ( z )$
​

Answer 1

Answer:

$let \: \: z \: = a + ib \\ \overline { z } = \: a - ib \:$

LHS

$z - \overline { z } = \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ = (a + ib) - (a - ib) = 2 \\ = a + ib - a + ib = 2 \: \: \: \: \: \\ = 2ib \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ = 2 \times (imaginary \: \: of \: \: z)$

Hence

$z - \overline { z } = 2I m(z)$