Question

Simlify:
(1/2+root5) + (1/root5+root6) + (1/root6+root7) + (1/root7+root8)

Answer 1

$\underline{\textbf{Given:}}$

$\mathsf{\dfrac{1}{2+\sqrt{5}}+\dfrac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}+\dfrac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{7}}+\dfrac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{8}}}$

$\underline{\textbf{To Simplify:}}$

$\mathsf{\dfrac{1}{2+\sqrt{5}}+\dfrac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}+\dfrac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{7}}+\dfrac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{8}}}$

$\underline{\textbf{Solution:}}$

$\mathsf{Consider,}$

$\mathsf{\dfrac{1}{2+\sqrt{5}}}$

$\mathsf{=\dfrac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}{\times}\dfrac{\sqrt{4}-\sqrt{5}}{\sqrt{4}-\sqrt{5}}}$

$\mathsf{=\dfrac{\sqrt{4}-\sqrt{5}}{(\sqrt{4})^2-(\sqrt{5})^2}}$

$\mathsf{=\dfrac{\sqrt{4}-\sqrt{5}}{4-5}}$

$\mathsf{=\dfrac{\sqrt{4}-\sqrt{5}}{-1}}$

$\mathsf{=\sqrt{5}-\sqrt{4}}$

$\implies\mathsf{\dfrac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}=\sqrt{5}-\sqrt{4}}$

$\mathsf{Similarly,}$

$\implies\mathsf{\dfrac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}=\sqrt{6}-\sqrt{5}}$

$\implies\mathsf{\dfrac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{7}}=\sqrt{7}-\sqrt{6}}$

$\implies\mathsf{\dfrac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{8}}=\sqrt{8}-\sqrt{7}}$

$\mathsf{Now,}$

$\mathsf{\dfrac{1}{2+\sqrt{5}}+\dfrac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}+\dfrac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{7}}+\dfrac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{8}}}$

$\mathsf{=\dfrac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}+\dfrac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}+\dfrac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{7}}+\dfrac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{8}}}$

$\mathsf{=(\sqrt{5}-\sqrt{4})+(\sqrt{6}-\sqrt{5})+(\sqrt{7}-\sqrt{6})+(\sqrt{8}-\sqrt{7})}$

$\mathsf{=-\sqrt{4}+\sqrt{8}}$

$\mathsf{=-2+2\sqrt{2}}$

$\mathsf{=2\sqrt{2}-2}$

$\underline{\textbf{Answer:}}$

$\mathsf{\dfrac{1}{2+\sqrt{5}}+\dfrac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}+\dfrac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{7}}+\dfrac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{8}}=2\sqrt{2}-2}$