Question

(sinO + cosO)² + (cosO + cosecO)² = (1 + secO + cosecO)²

Answer 1

you did mistake in typing ,
question is (sinO + secO)² + (cosO + cosecO)² = (1 + secO.cosecO)²

(sinO + secO)² = (1/cosecO + secO)²
= (1 + cosecO.secO)²/cosec²O

similarly, (cosO + cosecO)² = (1/secO + cosecO)²
= (1 + secO.cosecO)²/sec²O

LHS = (sinO + secO)² + (cosO + cosecO)²
= (1 + secO.cosecO)²/sec²O + (1 + cosecO.secO)²/cosec²O
= (1+cosecO.secO)² { 1/sec²O + 1/cosec²O}
we know, 1/secx = cosx and 1/cosecx = sinx

= (1 + cosecO.secO)²{cos²O + sin²O}
we know,
sin²x + cos²x = 1 use it here,
= (1 + cosecO.secO)² = RHS

Answer 2

Correct Question:

(sinO + SecO)² + (cosO + cosecO)² = (1 + secO . cosecO)²

solution:
let us consider( sinO + SecO)²
=(1/CosecO + SecO)²
=(1+CosecO.SecO)²/Cosec²O

let us Consider (CosO+CosecO)²
=(1/SecO + Cosec O)²
=(1+SecOCosecO) ²/Sec²O
now:
(sinO + SecO)² + (CosO+CosecO)²
=1+CosecO.SecO)²/Cosec²O +
(1+SecOCosecO) ²/Sec²O
(1+SecOCosecO)²[1/Sec²O +1/Cosec²O]
(1+SecOCosecO)²(Cos²O+ Sin²O)
=(1+SecOCosecO)²
Since cos²O= 1/Sec²O
sin²O= 1/Cosec²O
and
Cos²O + Sin²O =1
Therefore L.H.S=
(sinO + SecO)² + (CosO+CosecO)²=(1+SecOCosecO)²
L.H.S=R.H.S
Hence proved