Question

Soil m un nombre entier naturel non nul tel que le nombre m(m+1) / 3 soit un carré parfait . Prouver que le nombre 3 divise m et que les nombres m+1 et m sont des carrés parfaits.
J'ai besoin de cet exercice le plus vite possible .
merci​

Answer 1

Answer:

Soil m un nombre entier naturel non nul tel que le nombre m(m+1) / 3 soit un carré parfait . Prouver que le nombre 3 divise m et que les nombres m+1 et m sontque le nombre m(m+1) / 3 soit un carré parfait . Prouver que le nombre 3 divise m et que les nombres m+1 et m sont des carrés parfaits.

J'ai besoin

Answer 2

1) démonstration par contradiction:

supposons que 3 ne divise pas m, alors m=3k+1 ou 3k+2

m et  m+1 sont premiers entre eux et 3 divise m(m+1), alors le seul cas possible est m=3k+2.

Dans ce cas, m(m+1)/3=(3k+2)(k+1)=p2

comme 3k+2 et k+1 sont premiers entre eux alors chacun d'eux est carré parfait. or, un carré parfait est toujours congru à 0 ou 1 modulo 3 alors que 3k+2 est congru à 2 modulo 3. d'où contradiction.

conclusion 3 divise m

2) si 3 divise m alors m=3k et m(m+1)/3= k(3k+1)

or k et 3k+1 sont premiers entre eux et leur produit est carré parfait

k et 3k+1 sont chacun carré parfait.

si a et b sont premiers entre eux et leur produit est carré parfait, alors a est carré parfait et b est carré parfait.