Question

solve (D^2-4D+4)y=4 cos x+3 sin x,y(0)=0,y'(0)=0​

Answer 1

$\underline{\textsf{Given:}}$

$\textsf{Differential equation is}$

$\mathsf{(D^2-4D+4)y=4\,cosx+3\,sinx,\;\;y(0)=0,\;y'(0)=0}$

$\underline{\textsf{To find:}}$

$\textsf{General solution of the given differential equation}$

$\underline{\textsf{Solution:}}$

$\mathsf{Consider,}$

$\mathsf{(D^2-4D+4)y=4\,cosx+3\,sinx}$

$\mathsf{Characteristic\;equation\;is}$

$\mathsf{p^2-4p+4=0}$

$\mathsf{(p-2)(p-2)=0}$

$\implies\mathsf{p=2,2}$

$\mathsf{Complementary\;function\;is}$

$\mathsf{(Ax+B)e^{2x}}$

$\underline{\mathsf{Particular\;Integral-1:}}$

$\mathsf{P.I=\dfrac{4\,cosx}{D^2-4D+4}}$

$\mathsf{P.I=\dfrac{4\,cosx}{-1-4D+4}\;\;D^2\implies\,-1}$

$\mathsf{P.I=\dfrac{4\,cosx}{-4D+3}}$

$\mathsf{P.I=\dfrac{-4\,cosx}{4D-3}{\times}\dfrac{4D+3}{4D+3}}$

$\mathsf{P.I=\dfrac{-4\,cosx(4D+3)}{16D^2-9}}$

$\mathsf{P.I=\dfrac{-4\,cosx(4D+3)}{16(-1)-9}}\;\;D^2\implies\,-1$

$\mathsf{P.I=\dfrac{-16\,D(cosx)-12cosx}{-25}}$

$\mathsf{P.I=\dfrac{-16(-sinx)-12cosx}{-25}}$

$\mathsf{P.I=\dfrac{16sinx-12cosx}{-25}}$

$\mathsf{P.I=\dfrac{12cosx-16sinx}{25}}$

$\underline{\mathsf{Particular\;Integral-2:}}$

$\mathsf{P.I=\dfrac{3\,sinx}{D^2-4D+4}}$

$\mathsf{P.I=\dfrac{3\,sinx}{-1-4D+4}\;\;D^2\implies\,-1}$

$\mathsf{P.I=\dfrac{3\,sinx}{-4D+3}}$

$\mathsf{P.I=\dfrac{-3\,sinx}{4D-3}{\times}\dfrac{4D+3}{4D+3}}$

$\mathsf{P.I=\dfrac{-3\,sinx(4D+3)}{16D^2-9}}$

$\mathsf{P.I=\dfrac{-3\,sinx(4D+3)}{16(-1)-9}}\;\;D^2\implies\,-1$

$\mathsf{P.I=\dfrac{-12\,D(sinx)-9sinx}{-25}}$

$\mathsf{P.I=\dfrac{-12(cosx)-9sinx}{-25}}$

$\mathsf{P.I=\dfrac{12cosx+9sinx}{25}}$

$\therefore\mathsf{The\;general\;solution\;is}$

$\mathsf{y=C.F+P.I-1+P.I-2}$

$\mathsf{y=(Ax+B)e^{2x}+\dfrac{12cosx-16sinx}{25}+\dfrac{12cosx+9sinx}{25}}$

$\mathsf{But\;y(0)=0}$

$\mathsf{0=(A(0)+B)e^{2(0)}+\dfrac{12cos(0)-16sin(0)}{25}+\dfrac{12cos(0)+9sin(0)}{25}}$

$\mathsf{0=B+\dfrac{12}{25}+\dfrac{12}{25}}$

$\mathsf{B=\dfrac{-24}{25}}$

$\mathsf{y'=2(Ax+B)e^{2x}+Ae^{2x}+\dfrac{-12sinx-16cosx}{25}+\dfrac{-sinx12+9cosx}{25}}$

$\mathsf{y'(0)=0}$

$\mathsf{0=2(A(0)+B)e^{2(0)}+Ae^{2(0)}+\dfrac{-12sin(0)-16cos(0)}{25}+\dfrac{-12sin(0)+9cos(0)}{25}}$

$\mathsf{0=2B+A+\dfrac{-16}{25}+\dfrac{9}{25}}$

$\mathsf{0=\dfrac{-48}{25}+A+\dfrac{-16}{25}+\dfrac{9}{25}}$

$\mathsf{A=\dfrac{55}{25}}$

$\mathsf{A=\dfrac{11}{5}}$

$\therefore\textsf{General solution is}$

$\boxed{\mathsf{y=\left(\dfrac{11}{5}x-\dfrac{24}{25}\right)e^{2x}+\dfrac{12cosx-16sinx}{25}+\dfrac{12cosx+9sinx}{25}}}$

$\underline{\textsf{Find more:}}$

Solve (D3+3D2+3D+1)y = 5​

https://brainly.in/question/23611338

Solve (D^2- 8D+9) y = 8 sin 5x

https://brainly.in/question/22496633

​