Question

solve:
dont spam❌️❌️​

Answer 1

The Middle term of $\huge\mathsf\red{{(x- \frac{1}{x})}^{2n+1}}$

$\mathsf{The \: power \: is \: in \: odd \: so \: it \: has \: middle \:terms}$

$\mathsf{If \: n \: is \: odd \: it \: has \: \frac{(n+1)}{2} \: and \: \frac{(n+3)}{2}}$

$\mathsf{By \: substituting \: 2n+1 \: in \: above \: terms}$

$\mathsf\red{=\frac{2n+1+1}{2}}$

$\mathsf{=\frac{2n+2}{2}}$

$\mathsf{=\frac{2(n+1)}{2}}$

$\mathsf{= n+1}$

$\mathsf\red{=\frac{ 2n+1+3}{2}}$

$\mathsf{=\frac{2n+4}{2}}$

$\mathsf{=\frac{2(n+2)}{2}}$

$\mathsf{=n+2}$

$\mathsf{T_{n+1} \: = \: ^{2n+1}C_{n} × {(x)}^{2n+1-n} × {(\frac{-1}{x})}^{n}}$

$\mathsf{==> \: ^{2n+1}C_{n} × {(x)}^{n+1} × {(-1)}^{n}× \frac{1}{{x}^{n}}}$

$\mathsf{==> \: {(-1)}^{n} \: ^{2n+1}C_{n} × {x}^{n}.{x}^{1} × \frac{1}{{x}^{n}}}$

$\mathsf\purple{==> \: {(-1)}^{n} \: ^{2n+1}C_{n}. x}$

______________________________________________________

The Middle term of $\huge\mathsf\red{{(1+x)}^{2n}}$

$\mathsf{If \: n \: is \: even \: it \: has \: \frac{n}{2}+1}$

$\mathsf{By \: substituting \: 2n \: in \: above \: term}$

$\mathsf\red{=\frac{2n}{2}+1}$

$\mathsf{=\frac{2n+2}{2}}$

$\mathsf{=\frac{2(n+1)}{2}}$

$\mathsf{ =n+1}$

$\mathsf{T_{n+1} \: = \: ^{2n}C_{n} × {(1)}^{2n-n} × {x}^{n}}$

$\mathsf{T_{n+1} \: = \: ^{2n}C_{n} × {1}^{n} × {x}^{n}}$

$\mathsf\purple{T_{n+1} \: = \: ^{2n}C_{n} . {x}^{n}}$

Answer 2

The Middle term of $\huge\mathsf\red{{(x- \frac{1}{x})}^{2n+1}}$

$\mathsf{The \: power \: is \: in \: odd \: so \: it \: has \: middle \:terms}$

$\mathsf{If \: n \: is \: odd \: it \: has \: \frac{(n+1)}{2} \: and \: \frac{(n+3)}{2}}$

$\mathsf{By \: substituting \: 2n+1 \: in \: above \: terms}$

$\mathsf\red{=\frac{2n+1+1}{2}}$

$\mathsf{=\frac{2n+2}{2}}$

$\mathsf{=\frac{2(n+1)}{2}}$

$\mathsf{= n+1}$

$\mathsf\red{=\frac{ 2n+1+3}{2}}$

$\mathsf{=\frac{2n+4}{2}}$

$\mathsf{=\frac{2(n+2)}{2}}$

$\mathsf{=n+2}$

$\mathsf{T_{n+1} \: = \: ^{2n+1}C_{n} × {(x)}^{2n+1-n} × {(\frac{-1}{x})}^{n}}$

$\mathsf{==> \: ^{2n+1}C_{n} × {(x)}^{n+1} × {(-1)}^{n}× \frac{1}{{x}^{n}}}$

$\mathsf{==> \: {(-1)}^{n} \: ^{2n+1}C_{n} × {x}^{n}.{x}^{1} × \frac{1}{{x}^{n}}}$

$\mathsf\red{T_{n+1} \: = \: {(-1)}^{n} \: ^{2n+1}C_{n}. x}$

______________________________________________________

The Middle term of $\huge\mathsf\red{{(1+x)}^{2n}}$

$\mathsf{If \: n \: is \: even \: it \: has \: \frac{n}{2}+1}$

$\mathsf{By \: substituting \: 2n \: in \: above \: term}$

$\mathsf\red{=\frac{2n}{2}+1}$

$\mathsf{=\frac{2n+2}{2}}$

$\mathsf{=\frac{2(n+1)}{2}}$

$\mathsf{ =n+1}$

$\mathsf{T_{n+1} \: = \: ^{2n}C_{n} × {(1)}^{2n-n} × {x}^{n}}$

$\mathsf{T_{n+1} \: = \: ^{2n}C_{n} × {1}^{n} × {x}^{n}}$

$\mathsf\red{T_{n+1} \: = \: ^{2n}C_{n} . {x}^{n}}$