Question

Solve ques 1 ( iv ) , ( v )

in the attachment


Class 10

Arithmetic Progression s

Answer 1

$\underline{\large{\mathfrak{Solution : }}}$

$\underline{\mathsf{Q.no : 1 (iv )}}$

$\mathsf{Let,} \\ \\ \mathsf{\implies \sqrt{2} \: = \: p } \\ \\ \mathsf{\implies \sqrt{8} \: = \: q} \\ \\ \mathsf{\implies \sqrt{18} \: = \: r} \\ \\ \mathsf{\implies \sqrt{32} \: = \: s}$

$\textsf{To be p , q , r and s in A.P., the } \\ \textsf{difference of two consecutive terms} \\ \textsf{ should be same. }$

$\mathsf{\implies q\: - \: p\: = \: r \: - \: q \: = \: s \: - \: r } \\ \\ \mathsf{ \implies \sqrt{8} \: - \: \sqrt{2} \: = \: \sqrt{18} \: - \: \sqrt{8} \: = \: \sqrt{32} \: - \: \sqrt{18} } \\ \\ \mathsf{ \implies \sqrt{ {2}^{3} } \: - \: \sqrt{2} \: = \: \sqrt{ {3}^{2} \: \times \: 2 \: } - \: \sqrt{ {2}^{3} } \: = \: \sqrt{ {4}^{2} \: \times \: 2 } \: - \: \sqrt{ {3}^{2} \: \times \: 2 \: } } \\ \\ \mathsf{ \implies 2 \sqrt{2} \: - \: \sqrt{2} \: = \: 3 \sqrt{2} \: - \: 2 \sqrt{2} \: = \: 4 \sqrt{2} \: - \: 3 \sqrt{2} } \\ \\ \mathsf{ \implies \sqrt{2} \: = \: \sqrt{2} \: = \: \sqrt{2} \: = \: \sqrt{2} }$

$\underline{\underline{\mathsf{Now,}}}$

$\mathsf{\implies First \: term (a)\: = \: \sqrt{2}}\\ \\ \mathsf{\implies Common \: difference (d)\: = \: q \: - \: p } \\ \\ \mathsf{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad\: \: \: \: \: \: = \: \sqrt{2}}$

$\mathsf{\implies Next \: term \: = \: s \: + \: d } \\ \\ \mathsf{ \qquad \qquad \qquad \quad = \sqrt{32} \: + \: \sqrt{2} } \\ \\ \mathsf{ \qquad \qquad \qquad \quad = \: \sqrt{2} ( \sqrt{16} \: + \: 1)} \\ \\ \mathsf{ \qquad \qquad \qquad \quad = \sqrt{2} (4 \: + \: 1)} \\ \\ \mathsf{ \qquad \qquad \qquad \quad = \: 5 \sqrt{2}} \\ \\ \mathsf{\qquad \qquad \qquad \quad = \: \sqrt{2\: \times \: 5 \: \times \: 5}} \\ \\ \mathsf{\qquad \qquad \qquad \quad = \: \sqrt{50}}$

$\underline{\mathsf{Q.no : 1(v)}}$

$\mathsf{Let,} \\ \\ \mathsf{\implies \sqrt{20} \: = \: p } \\ \\ \mathsf{\implies \sqrt{45} \: = \: q} \\ \\ \mathsf{\implies \sqrt{80} \: = \: r} \\ \\ \mathsf{\implies \sqrt{125} \: = \: s}$

$\textsf{To be p , q , r and s in A.P., the } \\ \textsf{difference of two consecutive terms} \\ \textsf{ should be same. }$

$\mathsf{\implies q\: - \: p\: = \: r \: - \: q \: = \: s \: - \: r } \\ \\ \mathsf{ \implies \sqrt{45} \: - \: \sqrt{20} \: = \: \sqrt{80} \: - \: \sqrt{45} \: = \: \sqrt{125} \: - \: \sqrt{80} } \\ \\ \mathsf{ \implies \sqrt{ {3}^{2} \: \times \: 5 \: } \: - \: \sqrt{ {2}^{2} \: \times \: 5\: } \: = \: \sqrt{ {4}^{2} \: \times \: 5\: } - \: \sqrt{ {3}^{2} \: \times \: 5} \: = \: \sqrt{ {5}^{2} \: \times \: 5 } \: - \: \sqrt{ {4}^{2} \: \times \: 5 \: } } \\ \\ \mathsf{ \implies 3 \sqrt{5} \: - \: 2 \sqrt{5} \: = \: 4 \sqrt{5} \: - \: 3 \sqrt{5} \: = \: 5 \sqrt{5} \: - \: 4 \sqrt{5} } \\ \\ \mathsf{ \implies \sqrt{5} \: = \: \sqrt{5} \: = \: \sqrt{5} \: = \: \sqrt{5} }$

$\underline{\underline{\mathsf{Now,}}}$

$\mathsf{\implies First \: term (a)\: = \: \sqrt{20}}\\ \\ \mathsf{\implies Common \: difference (d)\: = \: q \: - \: p } \\ \\ \mathsf{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \: \: = \: \sqrt{5}}$

$\mathsf{\implies Next \: term \: = \: s \: + \: d } \\ \\ \mathsf{ \qquad \qquad \qquad \quad = \sqrt{125} \: + \: \sqrt{5} } \\ \\ \mathsf{ \qquad \qquad \qquad \quad = \: \sqrt{5} ( \sqrt{25} \: + \: 1)} \\ \\ \mathsf{ \qquad \qquad \qquad \quad = \sqrt{2} (5 \: + \: 1)} \\ \\ \mathsf{ \qquad \qquad \qquad \quad = \: 6 \sqrt{5}} \\ \\ \mathsf{\qquad \qquad \qquad \quad = \: \sqrt{5 \: \times \: 6 \: \times \:6}} \\ \\ \mathsf{\qquad \qquad \qquad \quad \: = \sqrt{180}}$

$\underline{\underline{\mathsf{The \: general \: form \: of \: an \: A.P :}}}$

$\mathsf{ \: a,(a \: + \: d ) , ( a \: + \: 2d ), (a \: + \: 3d )..... \:and \: so \: on.}$

$\underline{\underline{\mathsf{Terms \: related \: to \: A.P.}}} \\ \\ \mathsf{\implies First \: term \: = \: a } \\ \\ \mathsf{\implies Common \: difference \: = \: d } \\ \\ \mathsf{\implies Last \: term \: = \: l} \\ \\ \mathsf{\implies \: No. \: of \: terms \: = \: n } \\ \\ \mathsf{\implies nth \: term \: = \: T_{n} } \\ \\ \mathsf{\implies Sum \: of \: n \: first \: n \: terms \: = \: S_{n} }$

$\underline{\underline{\mathsf{Formulas \: related \: to \: A.P.}}} \\ \\ \mathsf{\implies T_{n} \: = \: a \: + \: (n \: - \: 1)d} \\ \\ \mathsf{\implies S_{n} \: = \: \dfrac{n}{2}(a \: + \: l) \:= \:\dfrac{n}{2}[2a \: + \: (n \: - \: 1 )d]}$