Question

$A= \begin{bmatrix} 3a & -a + b & -a + c \\ -b + a & 3b & -b + c \\ -c+a & -c+b & 3c \end{bmatrix}$ = 3(a+b+c) (ab + bc + ca)

Answer 1

Given :     A = $\begin{bmatrix} 3a & -a + b & -a + c \\ -b + a & 3b & -b + c \\ -c+a & -c+b & 3c \end{bmatrix}$   = 3(a + b + c)(ab + bc + ca)

To Find :  सिद्ध कीजिए

Solution:

LHS = $\begin{bmatrix} 3a & -a + b & -a + c \\ -b + a & 3b & -b + c \\ -c+a & -c+b & 3c \end{bmatrix}$

C₁ → C₁ +C₂  +  C₃

= $\begin{bmatrix} a + b + c & -a + b & -a + c \\ a + b + c & 3b & -b + c \\ a + b + c & -c+b & 3c \end{bmatrix}$

= $(a + b + c) \begin{bmatrix} 1 & -a + b & -a + c \\ 1 & 3b & -b + c \\ 1 & -c+b & 3c \end{bmatrix}$

R₂ → R₂- R₁   R₃ → R₃ - R₁

= $(a + b + c) \begin{bmatrix} 1 & -a + b & -a + c \\ 0 & 2b+a & a-b \\ 0 & a-c & 2c +a\end{bmatrix}$

$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$

मान | A | = a₁₁ ( a₂₂ * a₃₃ - a₃₂ * a₂₃) - a₁₂ (a₂₁ * a₃₃ - a₃₁ * a₂₃) + a₁₃(a₂₁*a₃₂  - a₃₁ * a₂₂)

= (a + b + c ) {  1 (2b + a)(2c + a) - (a - c)(a - b)  -(-a + b)(0 - 0) + (-a + c)(0 - 0)}

= (a + b + c ) ( 4bc + 2ab + 2ac + a² - ( a² - ac - ab + bc))

= (a + b + c ) (3bc + 3ab +3ac)

= 3  (a + b + c ) ( bc +  ab + ac)

=  3(a + b + c)(ab + bc + ca)

= RHS

QED

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