Question

$\begin{bmatrix} 1+a2-b2 & 2ab & -2b \\ 2ab & 1-a2+b2 & 2a \\ 2a & -2a & 1-a2-b2 \end{bmatrix}$ = (1+a2+b2)3

Answer 1

Given :  $\begin{bmatrix} 1+a^2-b^2 & 2ab & -2b \\ 2ab & 1-a^2+b^2 & 2a \\ 2b & -2a & 1-a^2-b^2 \end{bmatrix} = (1+a^2+b^2)^3$

To find :    सारणिकों के मान  सिद्ध करें

Solution:

$LHS = \begin{bmatrix} 1+a^2-b^2 & 2ab & -2b \\ 2ab & 1-a^2+b^2 & 2a \\ 2b & -2a & 1-a^2-b^2 \end{bmatrix}$

R₁  → R₁ + bR₃    R₂ → R₂ - aR₃

$= \begin{bmatrix} 1+a^2+b^2 & 0 & -b(1+a^2+b^2) \\ 0 & 1+a^2+b^2 & a(1+a^2+b^2) \\ 2b & -2a & 1-a^2+b^2 \end{bmatrix}$

यदि  किसी एक  सारणिक के किसी एक पंक्ति (अथवा स्तम्भ) के  प्रत्येक अवयव  को एक अचार k से गुणा  करते हैं तो उसका मान भी k से गुणित  हो जाता है

$= (1+a^2+b^2)(1+a^2+b^2)\begin{bmatrix} 1 & 0 & -b \\ 0 & 1 & a \\ 2b & -2a & 1-a^2-b^2 \end{bmatrix}$

हमें पता है की यदि

$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$

Det A = | A |  = a₁₁ ( a₂₂ * a₃₃  - a₃₂ * a₂₃)  - a₁₂ (a₂₁ * a₃₃ - a₃₁ * a₂₃)  + a₁₃ (a₂₁ * a₃₂ - a₃₁ * a₂₂)

=  (1 + a² + b²)² (  1 ( 1 - a² - b² + 2a²) - 0  +  -b(0  - 2b) )

= (1 + a² + b²)² (1 + a² + b²)

=  (1 + a² + b²)³

= RHS

QED

इति  सिद्धम

और सीखें

"निम्नलिखित सारणिकों के मान ज्ञात कीजिए

(i)  -3 & -1 & 2  \\  0 & 0 & -1 \\ 3 & -5 & 0  

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मान ज्ञात कीजिए

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"मान ज्ञात कीजिए ।

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