Question

$\begin{bmatrix} 1 & x & x2 \\ x2 & 1 & x \\ x & x2 & 1 \end{bmatrix}$ = (1-x3)2

Answer 1

Given :  $\begin{bmatrix} 1 & x & x^2 \\ x^2 & 1 & x \\ x & x^2 & 1 \end{bmatrix}= (1-x^3)^2$

To find :    सारणिकों के मान  सिद्ध करें

Solution:

$LHS = \begin{bmatrix} 1 & x & x^2 \\ x^2 & 1 & x \\ x & x^2 & 1 \end{bmatrix}$

R₁  → R₁ + R₂ + R₃    R₃ → R₃ - R₂

= $\begin{bmatrix} 1+x+x^2 & 1+x+x^2 & 1+x +x^2 \\ x^2 & 1 & x \\ x(1-x) & -(x+1)(1-x) & 1-x \end{bmatrix}$

यदि  किसी एक  सारणिक के किसी एक पंक्ति (अथवा स्तम्भ) के  प्रत्येक अवयव  को एक अचार k से गुणा  करते हैं तो उसका मान भी k से गुणित  हो जाता है

$= (1+x+x^2)(1-x)\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ x^2 & 1 & x \\ x & -x-1 & 1 \end{bmatrix}$

R₁  → R₁ - R₂

$= (1+x+x^2)(1-x)\begin{bmatrix} (1-x)(1+x) & 0 & 1-x \\ x^2 & 1 & x \\ x & -x-1 & 1 \end{bmatrix}$

$= (1+x+x^2)(1-x)(1-x)\begin{bmatrix} 1+x & 0 & 1 \\ x^2 & 1 & x \\ x & -x-1 & 1 \end{bmatrix}$

हमें पता है की यदि

$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$

Det A = | A |  = a₁₁ ( a₂₂ * a₃₃  - a₃₂ * a₂₃)  - a₁₂ (a₂₁ * a₃₃ - a₃₁ * a₂₃)  + a₁₃ (a₂₁ * a₃₂ - a₃₁ * a₂₂)

=  (1 + x + x²)(1-x)(1-x) (  (1 + x)( 1 + x² + x)  - 0  + 1 ( x²(-x - 1) - x ) )

(a - b)(a² + b² + ab) = a³ - b³   , a = 1  b = x

= ( 1 - x³ )(1 - x)  (  1 + x² + x  + x + x² + x³   - x³  - x²  - x)

= ( 1 - x³ )(1 - x)  (  1 + x² + x )

=  ( 1 - x³ )(1 - x³)

= (1 - x³) ²

= RHS

QED

इति  सिद्धम

और सीखें

"निम्नलिखित सारणिकों के मान ज्ञात कीजिए

(i)  -3 & -1 & 2  \\  0 & 0 & -1 \\ 3 & -5 & 0  

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मान ज्ञात कीजिए

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