Question

(ii) $\begin{bmatrix} x+y+2z & x & y \\ z & y+z+2x & y \\ z & x & z+x+2y \end{bmatrix}$ = 2(x+y+z)3

Answer 1

Given :  $\begin{bmatrix} x+y+2z & x & y \\ z & y+z+2x & y \\ z & x & z+x+2y \end{bmatrix} = 2(x+y+z)^3$

To find :    सारणिकों के मान  सिद्ध करें

Solution:

$LHS = \begin{bmatrix} x+y+2z & x & y \\ z & y+z+2x & y \\ z & x & z+x+2y \end{bmatrix}$

R₁  → R₁ - R₃    R₂ → R₂ - R₃

$= \begin{bmatrix} x+y+z & 0 & -(x + y + z) \\ 0 & y+z+x & -(x + y + z) \\ z & x & z+x+2y \end{bmatrix}$

यदि  किसी एक  सारणिक के किसी एक पंक्ति (अथवा स्तम्भ) के  प्रत्येक अवयव  को एक अचार k से गुणा  करते हैं तो उसका मान भी k से गुणित  हो जाता है

$= (x+y+z)(x+y+z)\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ z & x & z+x+2y \end{bmatrix}$

C₃ → C₃ + C₁ + C₂

$= (x+y+z)(x+y+z)\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ z & x & 2z+2x+2y \end{bmatrix}$

$= (x+y+z)(x+y+z)(2z+2x+2y) \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ z & x & 1 \end{bmatrix}$

हमें पता है की यदि

$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$

Det A = | A |  = a₁₁ ( a₂₂ * a₃₃  - a₃₂ * a₂₃)  - a₁₂ (a₂₁ * a₃₃ - a₃₁ * a₂₃)  + a₁₃ (a₂₁ * a₃₂ - a₃₁ * a₂₂)

= (x + y + z)(x + y + z)(2z + 2x + 2y) ( 1 (1 - 0) - 0 + 0 )

= 2 (x + y + z)³

= RHS

QED

इति  सिद्धम

और सीखें

"निम्नलिखित सारणिकों के मान ज्ञात कीजिए

(i)  -3 & -1 & 2  \\  0 & 0 & -1 \\ 3 & -5 & 0  

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मान ज्ञात कीजिए

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