Question

$\begin{bmatrix} x & x2 & yz \\ y & y2 & zx \\ z & z2 & xy \end{bmatrix}$ = (x-y) (y-z) (z-x) (xy + yz +zx)

Answer 1

Given :    $\begin{bmatrix} x & x^2 & yz \\ y & y^2 & zx \\ z & z^2 & xy \end{bmatrix} = (x-y) (y-z) (z-x) (xy + yz +zx)$

To find :    सारणिकों के मान  सिद्ध करें

Solution:

$LHS = \begin{bmatrix} x & x^2 & yz \\ y & y^2 & zx \\ z & z^2 & xy \end{bmatrix}$

R₁  → R₁ - R₂   , R₂  → R₂ - R₃

$= \begin{bmatrix} x-y & x^2-y^2 & yz-zx \\ y-z & y^2-z^2 & zx-xy \\ z & z^2 & xy \end{bmatrix}$

$= \begin{bmatrix} x-y & (x -y)(x +y) & -z(x-y) \\ y-z & (y+z)(y-z) & -x(y-z) \\ z & z^2 & xy \end{bmatrix}$

यदि  किसी एक  सारणिक के किसी एक पंक्ति (अथवा स्तम्भ) के  प्रत्येक अवयव  को एक अचार k से गुणा  करते हैं तो उसका मान भी k से गुणित  हो जाता है

$=(x-y)(y -z) \begin{bmatrix} 1 & x +y & -z \\ 1 & y+z & -x \\ z & z^2 & xy \end{bmatrix}$

R₂ → R₂ - R₁

$=(x - y)(y-z) \begin{bmatrix} 1 & x+y & -z \\ 0 & z-x & z-x \\ z & z^2 & xy \end{bmatrix}$

$=(x - y)(y-z)(z-x) \begin{bmatrix} 1 & x+y & -z \\ 0 & 1 & 1 \\ z & z^2 & xy \end{bmatrix}$

हमें पता है की यदि

$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$

Det A = | A |  = a₁₁ ( a₂₂ * a₃₃  - a₃₂ * a₂₃)  - a₁₂ (a₂₁ * a₃₃ - a₃₁ * a₂₃)  + a₁₃ (a₂₁ * a₃₂ - a₃₁ * a₂₂)

= (x - y)(y - z)(z - x) ( 1 (xy - z²)  -(x + y) (0 - z) -z(0 - z) )

=  (x - y)(y - z)(z - x) ( xy - z²  + xz + yz + z²)

=  (x - y)(y - z)(z - x) ( xy  yz + xz)

= RHS

QED

इति  सिद्धम

और सीखें

"निम्नलिखित सारणिकों के मान ज्ञात कीजिए

(i)  -3 & -1 & 2  \\  0 & 0 & -1 \\ 3 & -5 & 0  

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