Question

(v) $\begin{bmatrix} a & b & c \\ a-b & b-c & c-a \\ b+a & c+a & a+b \end{bmatrix}$ = a3 + b3 + c3 - 3abc

Answer 1

Given :    $\begin{bmatrix} a & b & c \\ a-b & b-c & c-a \\ b+c & c+a & a+b \end{bmatrix} = a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$

To find :    सारणिकों के मान  सिद्ध करें

Solution:

$LHS = \begin{bmatrix} a & b & c \\ a-b & b-c & c-a \\ b+c & c+a & a+b \end{bmatrix}$

R₂  → R₂ - R₁

$= \begin{bmatrix} a & b & c \\ -b & -c & -a \\ b+c & c+a & a+b \end{bmatrix}$

R₃ → R₃ + R₂

$= \begin{bmatrix} a & b & c \\ -b & -c & -a \\ c & a & b \end{bmatrix}$

यदि  किसी एक  सारणिक के किसी एक पंक्ति (अथवा स्तम्भ) के  प्रत्येक अवयव  को एक अचार k से गुणा  करते हैं तो उसका मान भी k से गुणित  हो जाता है

$= -1 \begin{bmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{bmatrix}$

हमें पता है की यदि

$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$

Det A = | A |  = a₁₁ ( a₂₂ * a₃₃  - a₃₂ * a₂₃)  - a₁₂ (a₂₁ * a₃₃ - a₃₁ * a₂₃)  + a₁₃ (a₂₁ * a₃₂ - a₃₁ * a₂₂)

= - 1 (  a(bc - a² ) - b(b² - ac) + c(ab - c²) )

= - ( abc - a³ - b³ + abc + abc - c³)

= - ( 3abc  - a³ - b³ - c³)

=  a³ + b³ + c³ - 3abc

= RHS

QED

इति  सिद्धम

और सीखें

"निम्नलिखित सारणिकों के मान ज्ञात कीजिए

(i)  -3 & -1 & 2  \\  0 & 0 & -1 \\ 3 & -5 & 0  

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मान ज्ञात कीजिए

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"मान ज्ञात कीजिए ।

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