Question

(ii) $\begin{bmatrix} 1 & x & x2 \\ 1 & y & y2 \\ 1 & z & z2 \end{bmatrix}$ = (x-y)(y-z)(z-x)

Answer 1

Given :    $\begin{bmatrix} 1 & x & x^2 \\ 1 & y & y^2 \\ 1 & z & z^2 \end{bmatrix} = (x-y)(y-z)(z-x)$

To find :    सारणिकों के मान  सिद्ध करें

Solution:

$LHS = \begin{bmatrix} 1 & x & x^2 \\ 1 & y & y^2 \\ 1 & z & z^2 \end{bmatrix}$

R₁ → R₁ - R₂   R₂ → R₂ - C₃

$= \begin{bmatrix} 0 & x-y & x^2 - y^2 \\ 0 & y-z & y^2 - z^2 \\ 1 & z & z^2 \end{bmatrix}$

$= \begin{bmatrix} 0 & x-y & (x + y)(x - y) \\ 0 & y-z & (y + z)(y - z) \\ 1 & z & z^2 \end{bmatrix}$

यदि  किसी एक  सारणिक के किसी एक पंक्ति (अथवा स्तम्भ) के  प्रत्येक अवयव  को एक अचार k से गुणा  करते हैं तो उसका मान भी k से गुणित  हो जाता है

$= (x-y)(y-z)\begin{bmatrix} 0 &1 & x + y \\ 0 & 1 & y + z \\ 1 & z & z^2 \end{bmatrix}$

R ⇔ C

$= (x-y)(y-z)\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & z \\ x+y & y+z & z^2 \end{bmatrix}$

= (x - y)(y - z) ( 0  - 0  + 1 ( y + z - x - y)

= (x - y)(y - z)(z - x)

= RHS

QED

इति  सिद्धम

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