Question

$\Delta ABC$ और $\Delta DBC$ एक ही आधार BC पर बने दो समद्विबाहु त्रिभुज इस प्रकार हैं कि A और D भुजा BC के एक ही ओर स्थित हैं (देखिए आकृति 7.39)। यदि AD बढ़ाने पर BC को P पर प्रतिच्छेद करे, तो दर्शाइए कि
(i) $\Delta ABD \cong \Delta ACD$
(ii) $\Delta ABP \cong \Delta ACP$
(iii) AP कोण $\angle A$ और कोण $\angle D$ दोनों को समद्विभाजित करता है।
(iv) AP रेखाखंड BC का लम्ब समद्विभाजक है।

Answer 1

Step-by-step explanation:

दिया है :  

ΔABC and ΔDBC दो समद्विबाहु त्रिभुज , AB = AC & BD = DC.  

सिद्ध करना है :    

(i) ΔABD ≅ ΔACD  

(ii) ΔABP ≅ ΔACP

(iii) AP , ∠A के साथ साथ ∠D को भी समद्विभाजित करता है।

(iv) AP रेखाखंड BC का लम्ब समद्विभाजक है।

उपपत्ति :  

(i) ΔABD तथा  ΔACD में,  

AD = AD              (उभयनिष्ठ)    

AB = AC              (दिया है)  

BD = CD               (दिया है)  

∴  ΔABD ≅ ΔACD      (SSS सर्वांगसमता नियम द्वारा )    

∠BAD = ∠CAD           (CPCT द्वारा)

∠BAP = ∠CAP

(ii)  ΔABP तथा  ΔACP में,

AP = AP               (उभयनिष्ठ)    

∠BAP = ∠CAP     (उपर सिद्ध किया जा चुका है)  

AB = AC                   (दिया है)  

∴   ΔABP ≅ ΔACP    (SAS सर्वांगसमता नियम द्वारा )    

(iii)∠BAD = ∠CAD          (उपर सिद्ध किया जा चुका है)  

∴   AP , ∠A को समद्विभाजित करती है।

ΔBPD तथा ΔCPD में,

PD = PD  (उभयनिष्ठ)    

BD = CD    (दिया है)  

BP = CP          (ΔABP ≅ ΔACP )

∴ ΔBPD ≅ ΔCPD (SSS सर्वांगसमता नियम द्वारा )    

∠BDP = ∠CDP     (CPCT द्वारा)

∴   AP , ∠D को समद्विभाजित करती है।

अतः, AP ,∠A के साथ साथ ∠D को भी समद्विभाजित करता है।

(iv)  

∠BPD = ∠CPD            (ΔBPD ≅ ΔCPD)  

तथा  BP = CP              (ΔABP ≅ ΔACP)

∠BPD + ∠CPD = 180° (रेखीय युग्म)

⇒ 2∠BPD = 180°  

⇒ ∠BPD = 180°/2

⇒ ∠BPD = 90°  

⇒∠BPD = ∠CPD = 90°

अतः, AP रेखाखंड BC का लम्ब समद्विभाजक है।

आशा है कि यह उत्तर आपकी मदद करेगा।

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