Question

$x^{3} + 3 x^{2} + 3x + 1$ को निम्नलिखित से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए: (i) $x + 1$ (ii) $x - \frac{1}{2}$ (iii) x (iv) $x + \pi$ (v) $5 + 2x$

Answer 1

हल :  

माना p(x) = x³ + 3x² + 3x +1

(i) (x + 1) का शून्यक  (-1) है।

[∵ x + 1  = 0 , x = - 1]

∴ p(-1) = (-1)³ + 3(-1)² + 3(-1) + 1

⇒ p(-1) = -1 + 3 - 3 + 1

⇒ p(-1) = 2 - 2 = 0

⇒ p(-1) = 0  

∴ अभीष्ट शेषफल = 0    (शेषफल प्रमेय से)

(ii) (x - 1/2) का शून्यक  (1/2) है।

[∵ x - 1/2  = 0 , x = 1/2]

∴ p(1/2) = (1/2)³ + 3(1/2)² + 3(1/2) + 1

⇒ p(1/2) = 1/8 + ¾  + 3/2 + 1

⇒ p(1/2) = (1 + 6 + 12 + 8)/8

⇒ p(1/2) = 27/8  

∴ अभीष्ट शेषफल = 27/8    (शेषफल प्रमेय से)

 

(iii) x का शून्यक  (0) है।

∴ p(0) = (0)³ + 3(0)² + 3(0) + 1

⇒ p(0) = 0 + 0 + 0 + 1

⇒ p(0) = 1

∴ अभीष्ट शेषफल = 1    (शेषफल प्रमेय से)

(iv) (x + π) का शून्यक  (-π) है।

[∵ x + π  = 0 , x = - π]

∴ p(-π) = (-π)³ + 3(-π)² + 3(-π) + 1

⇒ p(-π) = -π³ + 3π² - 3π + 1

∴ अभीष्ट शेषफल = -π³ + 3π² - 3π + 1   (शेषफल प्रमेय से)

(v) (5 + 2x) का शून्यक  (-5/2) है।

[∵ 2x + 5  = 0 , x = - 5/2]

∴ p(-5/2) = (-5/2)³ + 3(-5/2)² + 3(-5/2) + 1

⇒ p(-5/2) = -125/8 + 75/4 - 15/2 + 1

⇒ p(-5/2) = (-125 + 150 - 60 + 8)/8

⇒ p(-5/2) = -27/8

∴ अभीष्ट शेषफल = -27/8  (शेषफल प्रमेय से)

आशा है कि यह उत्तर आपकी मदद करेगा।

 

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