Question

$\: \: \: \: \: x \: = \: cot \: A \: \: + \: \: cos \: A \: \: \: \: and \: \: \: \: y \: \: = \: cot \: A \: \: + \: \: cos \: A, \: \: prove \: \: that \: \: {(\frac{x \: - \: y}{x \: + \: y})}^{2} \: + \: {(\frac{x \: - \: y}{2})}^{2} \: \: = \: \: {1}$​

Answer 1

Given,

x=cotA+cosA

y=cotA−cosA

(x+yx−y)2+(2x−y)2

=(cotA+cosA+cotA−cosAcotA+cosA−cotA+cosA)2+(2cotA+cosA−cotA+cosA)2

=(2cotA2cosA)2+(22cosA)2

=⎝⎜⎜⎛sinAcosAcosA⎠⎟⎟⎞+cos2A

=(cosA×cosAsinA)2+cos2A

=sin2A+cos2A

=1

Keep smiling dear ❤️❤️❤️.......

Answer 2

$\Large{\boxed{\purple{\underline{\overline{\mathfrak{ \: Required \: Answer :- \: }}}}}}$

According to thr question, it’s given :-

$\sf \red {\: \: \: \: \: \: \: \: {(\dfrac{x \: - \: y}{x \: + \: y})}^{2} \: + \: {(\dfrac{x \: - \: y}{2})}^{2} \: \: = \: \: {1}}$

Let us find out the value of :-

• $\sf \: \: \: \: \: \: \dfrac{x \: - \: y}{x \: + \: y}$

• $\sf \: \: \: \: \: \: \: \: \dfrac{x \: - \: y}{2}$

$\sf\purple{ \: \: \: \: \: \: \dfrac{x \: - \: y}{x \: + \: y}}$

$\sf \: \: \: \: \: \: \leadsto \: \: \dfrac{x \: - \: y}{x \: + \: y} \: \: = \: \: \dfrac{\cancel{cot \: A} \: + \: cos \: A \: - \: \cancel{cot \: A} \: + \: cos \: A}{cot \: A \: + \: \cancel{cos \: A} \: + \: cot \: A \: - \: \cancel{cos \: A}}$

$\sf \: \: \: \: \: \: \leadsto \: \: \dfrac{x \: - \: y}{x \: + \: y} \: \: = \: \: \dfrac{ \: \cancel{2} \: cos \: A}{ \: \cancel{2} \: cot \: A }$

$\sf \: \: \: \: \: \: \leadsto \: \: \dfrac{x \: - \: y}{x \: + \: y} \: \: = \: \: \dfrac{ cos \: A}{ cot \: A }$

$\sf \: \: \: \: \: \: \leadsto \: \: \dfrac{x \: - \: y}{x \: + \: y} \: \: = \: \: \dfrac{\cancel{cos \: A} \: \times \: sin \: A }{\cancel{cos \: A }}$

$\sf \: \: \: \: \: \: \leadsto \: \: \dfrac{x \: - \: y}{x \: + \: y} \: \: = \: \: sin \: A$

$\sf \purple{\: \: \: \: \: \: \leadsto \: \: {(\dfrac{x \: - \: y}{x \: + \: y})}^{2} \: \: }= \green{\: \: {sin \: A }^{2} }$

$\sf\purple{ \: \: \: \: \: \: \: \: \dfrac{x \: - \: y}{2}}$

$\sf \: \: \: \: \: \: \leadsto \: \: \dfrac{x \: - \: y}{2} \: \: = \: \: \dfrac{\cancel{cot \: A} \: + \: cos \: A \: - \: \cancel{cot \: A} \: + \: cos \: A}{2}$

$\sf\: \: \: \: \: \: \leadsto \: \: \dfrac{x \: - \: y}{2} \: \: = \: \: \dfrac{\cancel{2} \: cos \: A}{ \cancel{2}}$

$\sf\: \: \: \: \: \: \leadsto \: \: \dfrac{x \: - \: y}{2} \: \: = \: \: cos \: A$

$\sf\purple {\: \: \: \: \: \: \leadsto \: \: {(\dfrac{x \: - \: y}{2})}^{2} \: \:} = \green{\: \: {cos \: A}^{2}}$

$\sf\large\underline {Substituting \: Values \: }$

$\sf\red {\: \: \: \: \: \: \leadsto \: \: {(\dfrac{x \: - \: y}{x \: + \: y})}^{2} \: + \: {(\dfrac{x \: - \: y}{2})}^{2} \: \: = \: \: {1} }$

$\sf\red{ \: \: \: \: \: \: \leadsto \: \: {sin \: A }^{2} \: + \: {cos \: A}^{2} \: \: }=\red{ \: \: {1} }$