Question

दो समांतर श्रेढ़ियों के n पदों के योगफल का अनुपात $5n + 4 : 9n + 6$ हो, तो उनके $18^{th}$वें पदों का अनुपात ज्ञात कीजिए।

Answer 1

Answer:  वांछित अनुपात 179 : 321 है ।

Step-by-step explanation:

माना की $a_{1}$ , $a_{2}$ तथा $d_{1}$  , $d_{2}$ , क्रमशः प्रथम एवं द्वितीय समांतर श्रेणियों के प्रथम पद तथा सार्व अंतर हैं, तो दी हुई शर्त के अनुसार, हम पाते है :

          प्रथम समांतर श्रेणी के n पदों का योग / द्वितीय समांतर श्रेणी के n पदों का योग  = $\frac{5n+4}{9n+6}$

⇒       $\frac{\frac{n}{2} [2a_{1} + (n-1)d_{1}] }{\frac{n}{2} [2a_{2} + (n-1)d_{2}] }$ = $\frac{5n+4}{9n+6}$

⇒       $\frac{2a_{1} + (n-1)d_{1}  }{2a_{2} + (n-1)d_{2}}$ = $\frac{5n+4}{9n+6}$             ...... (1)

   समीकरण (1) में n = 35 रखने पर,

             $\frac{2a_{1} + 34d_{1}  }{2a_{2} + 34d_{2}}$ = $\frac{5(35)+4}{9(35)+6}$

⇒           $\frac{a_{1} + 17d_{1}  }{a_{2} + 17d_{2}}$ = $\frac{179}{321}$ ....... (2)

अब          प्रथम समांतर श्रेणी का 18 वाँ पद / द्वितीय समांतर श्रेणी का 18 वाँ पद  =  $\frac{a_{1} + 17d_{1}  }{a_{2} + 17d_{2}}$      ...... (3)

समीकरण (2) और (3) से हमें प्राप्त होगा

               प्रथम समांतर श्रेणी का 18 वाँ पद / द्वितीय समांतर श्रेणी का 18 वाँ पद = $\frac{179}{321}$

अतः वांछित अनुपात 179 : 321 है ।

Answer 2

$\bold{\huge{\underline{Answer-}}}$

महत्वपूर्ण तथ्य ☞

1. समान्तर श्रेढी को संक्षेप में स० श्रे० ( A . P . ) लिखा जाता है ।

2. समान्तर श्रेढी के प्रथम पद को a , सार्वअन्तर को d तथा n वें पद को T , से प्रदर्शित किया जाता है ।

3. समान्तर श्रेढी के किसी भी पद में से उसका पूर्व पद घटाकर सार्वअन्तर ज्ञात किया जा सकता है

अर्थात समान्तर श्रेढी के किन्हीं दो क्रमागत पदों का अन्तर सदैव अचर होता है ।

प्रत्येक श्रेढी के कम - से - कम तीन पद अवश्य लिखने होते है

$\bold{\huge{\underline{Solution-}}}$

मान पहली समांतर श्रेणी का पहला पद a1 तथा सार्व अंतर d1 है

तब पहली समांतर श्रेणी का वाँ पद

$\bf \: T_n = a1 + (n - 1)d \: \: \: \: ..............(1)$

और इस समांतर श्रेणी के n पदों का योग

$\bf \: S_n = \frac{n}{2} \{2a1 + (n - 1)d1 \} \: \: \: \: \: ........(2)$

अब माना के दूसरे समांतर श्रेणी का पहला पद a2 तथा सार्व अंतर d2 है

तब दूसरी समांतर श्रेणी का n वाँ पद

$\bf \: T'_n = a2 + (n - 1)d2 \: \: \: \: \: \: .........(3)$

और इस समांतर श्रेणी के n पदों का योग

$\bf \: S'_n = \frac{n}{2} \{ \: 2a_2 + (n - 1)d_2 \} \: \: \: \: \: \: .........(4)$

समीकरण 2 वा समीकरण 4 से

$\large{\bf \: \frac{S_n}{S'_n} = \frac{ \frac{n}{2} \{2a_1 + (n - 1)d_1 \}}{ \frac{n}{2} \{ \: 2a_2 + (n - 1)d_2 \}} } \\ \\ \implies \bf \: \frac{2a_1 + (n - 1)d_1}{2a_2 + (n - 1)d_2} \\ \\ \implies \bf \: \frac{a_1 + ( \frac{n - 1}{2})d_1}{a_2 + ( \frac{n - 1)}{2})d_2}$

परंतु यह ज्ञात है कि $\bf \: \frac{S_n}{S'_n} = \frac{5n + 4}{9n + 6}$

$\bf \therefore \: \frac{a_1 + ( \frac{n - 1}{2} )d_1}{a_2 + ( \frac{n - 1}{2})d_2} = \frac{5n + 4}{9n + 6} \: \: \: \: \: \: ..........(5)$

अब समीकरण एक से पहली श्रेणी का n पद

$\bf \: T_n = a_1 + (n - 1)d_1$

तब n = 18 रखने पर पहली श्रेणी का 18 पद

$\bf \: T_{18} = a_1 + (18 - 1)d_1 \\ \\ \bf = a_1 + 17d_1$

और समीकरण 2 से दूसरी पहली श्रेणी का n वाँ पद

$\bf \: T'_n \: = a_2 + (n - 1)d_2$

तब n = 18 रखने पर दूसरी श्रेणी का 18 वाँ पद

$\bf \: T'_{18}\: = a_2 + 17d_2$

तब दोनों श्रेणियों के 18 में पदों का अनुपात

$= \bf \: \frac{a_1 + 17d_1}{a_2 + 17d_2}$

अब समी० 5 में तथा n = 35 रखने पर

$\bf \: \frac{a_1 + 17d_1}{a_2 + 17d_2} = \frac{(5 \times 35) + 4}{(9 \times 35) + 6} = \frac{179}{321} \\ \\ \implies \bf \: = \bf \: \frac{a_1 + 17d_1}{a_2 + 17d_2} = \frac{179}{321}$

दोनों श्रेणियों के पदों का अनुपात

$= \bf \: \frac{a_1 + 17d_1}{a_2 + 17d_2} = \frac{179}{321}$