Question

यदि किसी समांतर श्रेणी के n पदों का योगफल $(pn + qn^2)$, है, जहाँ p तथा q अचर हों तो सार्व अंतर ज्ञात कीजिए।

Answer 1

$\bold{\huge{\underline{Answer-}}}$

महत्वपूर्ण तथ्य ☞

1. समान्तर श्रेढी को संक्षेप में स० श्रे० ( A . P . ) लिखा जाता है ।

2. समान्तर श्रेढी के प्रथम पद को a , सार्वअन्तर को d तथा n वें पद को T , से प्रदर्शित किया जाता है ।

3. समान्तर श्रेढी के किसी भी पद में से उसका पूर्व पद घटाकर सार्वअन्तर ज्ञात किया जा सकता है

अर्थात समान्तर श्रेढी के किन्हीं दो क्रमागत पदों का अन्तर सदैव अचर होता है ।

प्रत्येक श्रेढी के कम - से - कम तीन पद अवश्य लिखने होते है

$\bold{\huge{\underline{Solution-}}}$

दी गई समांतर श्रेणी के n पदों का योगफल $S_n =\{ \: pn \: + qn^2 \}$

दी गई समांतर श्रेणी के 1 पदों का योगफल

$\bf \:S_1 = (p1 + q {1}^{2} ) = (p + q)$

और दी गई समांतर श्रेणी के 2 पदों का योगफल

$\bf \: S_2 = (p2 + {q2}^{2} ) \\ \\ = \bf \: (2p + 4q) \\ \\ = \bf \: (p + q)$

अर्थात प्रथम पद $\bf \: T_1 = p + q$...........(1)

और $\bf \: S_2 = (2p + 4q)$

अर्थात $\bf \:T_1 + T_2 = 2p + 4q..............(2)$

समीकरण 2 में समीकरण 1 को घटाने पर

$\bf \ T_2 = p + 3q$

तब श्रेणी का सार्व अंतर

$d = T_2 - T_1 \\ \\ \implies \: (p + 3q) - (p + q) = 2q$

अतः श्रेणी का सार्व अंतर = 2q