Question

यदि किसी समांतर श्रेणी $25, \,22, \,19$, ... के कुछ पदों का योगफल $116$ है तो अंतिम पद ज्ञात कीजिए।

Answer 1

Answer:

समांतर श्रेणी का अंतिम पद =  4

Step-by-step explanation:

मान लो के दी गयी समान्तर श्रेणी में  n पदों का योगफल 116 है |  

यह जाना जाता है कि,

S_n =  n/2  [ 2a + (n - 1) d ]

जहाँ,  

a = 25  

d =22 - 25 = -3

S_n =  n/2  [ 2 x 25 + (n - 1) (-3)  

=> 116 = n/2 [ 50 - 3n + 3 ]

=> 232 = n [ 53 - 3n ] = 53n - 3n^2

=> 3n^2 - 53n + 232 = 0

=> 3n^2 - 24n - 29n + 232 = 0

=> 3n (n-8) -29 (n-8) = 0

=> n = 8 or 29/3

किन्तु, n 29 / 3 से बराबरी का नहीं हो सकता।  इसलिए, n = 8  

a_8 = अंतिम पद = a + ( n-1)d = 25 + ( 8-1) (-3)

= 25 + (7) (-3) = 25 - 21 = 4

इसप्रकार, समांतर श्रेणी का अंतिम पद 4 है |

Answer 2

$\bold{\huge{\underline{Answer-}}}$

महत्वपूर्ण तथ्य ☞

1. समान्तर श्रेढी को संक्षेप में स० श्रे० ( A . P . ) लिखा जाता है ।

2. समान्तर श्रेढी के प्रथम पद को a , सार्वअन्तर को d तथा n वें पद को T , से प्रदर्शित किया जाता है ।

3. समान्तर श्रेढी के किसी भी पद में से उसका पूर्व पद घटाकर सार्वअन्तर ज्ञात किया जा सकता है

अर्थात समान्तर श्रेढी के किन्हीं दो क्रमागत पदों का अन्तर सदैव अचर होता है ।

प्रत्येक श्रेढी के कम - से - कम तीन पद अवश्य लिखने होते है

$\bold{\huge{\underline{Solution-}}}$

माना कि कुल पदों की संख्या n है

श्रेणी का पहला पद a= 25

तथा सार्वअंतर d = 22 - 25 = -3

तब पदों का योग $S_n = \frac{n}{2} \{ \: 2a \: + (n - 1)d \}$

$\therefore \: 116 = \frac{n}{2} \{ \: 2 \times 25 + (n - 1) \times - 3 \} \\ \\ 116 = \frac{n}{2} \{ \: 50 - 3n + 3 \} \: \\ \\ 116 = \frac{n}{2} \: \{53 - 3n \} \\ \\ 232 = 53n \: - {3n}^{2} \\ \\ \bf \: {3n}^{2} - 53n \: + 232 = 0 \\ \\ \bf \: {3n}^{2} - (24 + 29)n \: + 232 = 0 \\ \\ \bf \: {3n}^{2} - 24n \: - 29n \: + 232 = 0 \\ \\ \bf \: 3n(n - 8) - 29(n - 8) = 0 \\ \\ \bf \: (n - 8)(3n - 29) = 0$

n = 8 या 29 /3

परंतु पदों की संख्या धनात्मक नहीं होगी जिससे n = 29/3 स्वीकार नहीं है

•°• पदों की संख्या n = 8

तब श्रेणी का आठवां अंतिम पद

$\mathtt{T_8 \: = a + (n - 1)d} \\ \\ \mathtt{25 + (8 - 1) \times ( - 3)} \\ \\ \mathtt{25 + (7 \times - 3)} \\ \\ \mathtt{25 - 21 = 4}$

अतः श्रेणी का अंतिम पद = 4