Question

किसी समांतर श्रेणी का $q^{th}$वाँ पद $\dfrac{1}{p}$ तथा ध$q^{th}$वाँ पद $\dfrac{1}{p}$, हो तो सिद्ध कीजिए कि प्रथम pq पदों का योग $\dfrac{1}{2}(pq + 1)$ होगा जहाँ $p \neq q$.

Answer 1

Answer:

Step-by-step explanation:

ज्ञात है की गुणोत्तर श्रेणी का व्यापक पद या n वाँ पद $a_{n} = a + (n-1)d$

∴ प्राप्त जानकारी के अनुसार,

p वाँ पद = $a_{p}$ = a + (p-1)d = $\frac{1}{q}$ .......(1)

q वाँ पद = $a_{q}$ = a + (q-1)d = $\frac{1}{p}$ .......(2)

समीकरण (2) को (1) से घटाने पर,

(p-1)d - (q-1)d = $\frac{1}{q} - \frac{1}{p}$

⇒ (p-1-q+1)d = $\frac{p-q}{pq}$

⇒ (p-q)d = $\frac{p-q}{pq}$

⇒ d = $\frac{1}{pq}$

d का मान समीकरण (1) में रखने पर,

a + (p-1) $\frac{1}{pq}$ = $\frac{1}{q}$

⇒ a = $\frac{1}{q}$ - $\frac{1}{q}$ + $\frac{1}{pq}$ = $\frac{1}{pq}$

∴ $S_{pq}$ = $\frac{pq}{2}$ [2a+(pq-1)d]

= $\frac{pq}{2}$ [ $\frac{2}{pq}$ + (pq-1) $\frac{1}{pq}$ ]

= 1 + $\frac{1}{2}$ (pq-1)

= $\frac{1}{2}$ pq + 1 - $\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{2}$ pq + $\frac{1}{2}$

= $\frac{1}{2}$ (pq + 1)

अतः प्रथम pq पदों का योग $\frac{1}{2} (pq+1)$ होगा ।

Answer 2

S = (pq + 1)/2

Step-by-step explanation:

मान लीजिये

प्रथम पद = a

और सार्व अंतर = d

pth वाँ पद  = a  + (p - 1)d   = 1/q      Eq1

& qth वाँ पद  = a  + (q - 1)d   = 1/p   Eq2

Eq2 - Eq1

=> ( q - p)d  = 1/p - 1/q

=> (q - p)d = (q - p)/pq

=> d = 1/pq

a  + (p - 1)d   = 1/q  

=> a +  (p - 1)/pq   = 1/q  

=> apq  + p - 1 = p

=> a = 1/pq

प्रथम pq पदों का योग

S  = (pq/2) ( a  + a + (pq - 1)d)

S = (pq/2) ( 1/pq   + 1/pq + (pq - 1)/pq)

S = (1/2)( 1  + 1  + pq - 1)

S = (1/2) (pq + 1)

S = (pq + 1)/2

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