Question

किसी समांतर श्रेणी में प्रथम पद $2$ है तथा प्रथम पाँच पदों का योगफल, अगले पाँच पदों के योगफल का एक चौथाई है। दर्शाइए कि $20^{th}$वाँ पद $-112$ है।

Answer 1

Answer:

समांतर श्रेणी का 20^{th}वाँ पद -112 है

Step-by-step explanation:

यहाँ दी गयी किसी समांतर श्रेणी में प्रथम पद 2 है |  

a = 2  

मान लो के किसी समांतर श्रेणी का  सार्व अंतर d  है |

इसलिए, समांतर श्रेणी 2, 2 + d, 2 + 2d, 2 + 3d, ... है |  

प्रथम पांच पद का योगफल  = 10 + 10d  

अगले पांच पद का योगफल = 10 + 35d    

दी गई शर्त के अनुसार,

10 + 10d = 1/4 ( 10 + 35d)

=> 40 + 40d = 10 + 35d

=> 30 = -5d

=> d = -6

∴ a_20 = a + ( 20 - 1)d = 2 + (19) (-6) = 2 - 114 = - 112

इसप्रकार, समांतर श्रेणी का 20^{th}वाँ पद -112 है

Answer 2

$\bold{\huge{\underline{Answer-}}}$

महत्वपूर्ण तथ्य ☞

1. समान्तर श्रेढी को संक्षेप में स० श्रे० ( A . P . ) लिखा जाता है ।

2. समान्तर श्रेढी के प्रथम पद को a , सार्वअन्तर को d तथा n वें पद को T , से प्रदर्शित किया जाता है ।

3. समान्तर श्रेढी के किसी भी पद में से उसका पूर्व पद घटाकर सार्वअन्तर ज्ञात किया जा सकता है

अर्थात समान्तर श्रेढी के किन्हीं दो क्रमागत पदों का अन्तर सदैव अचर होता है ।

प्रत्येक श्रेढी के कम - से - कम तीन पद अवश्य लिखने होते है

$\bold{\huge{\underline{Solution-}}}$

हल-

माना समांतर श्रेणी का पहला पद a तथा सार्वअंतर d

तब, a = 2

प्रश्नानुसार श्रेणी के प्रथम 5 पदों का योगफल

= $\frac{1}{4} \times$अगले 5 पदों का योगफल

अर्थात

$\bf \: T_1 + T_2 + T_3 + T_4 + T_5 = \frac{1}{4} (T_6 +T_7+T_8+T_9 + T_{10}) \\ \\ \bf \:4( T_1 + T_2 + T_3 + T_4 + T_5 )= (T_6 +T_7+T_8+T_9 + T_{10}) \:$

दोनों पक्षों में $T_1 + T_2 + T_3 + T_4 + T_5$जोड़ने पर

$\bf \: (T_1 + T_2 + T_3 + T_4 + T_5 ) + 4(T_1 + T_2 + T_3 + T_4 + T_5 ) \\ \bf \: = (T_1 + T_2 + T_3 + T_4 + T_5) + (T_6+ T_7 + T_8 + T_9 + T_{10}) \\ \\ \bf \implies \:5(T_1 + T_2 + T_3 + T_4 + T_5) = T_1 + T_2 + T_3 +....... + T_{10} \\ \\ \implies \bf \: 5 \: S_5 = S_{10} \\ \\ \implies \bf \: 5 \times \frac{5}{2} \{2 \: T_1 + (5 - 1) \times d \} \: = \frac{10}{2} \{ \: 2 \: T_1 + (10 - 1) \times d \} \\ \\ \implies \bf \: 25(2a + 4d) = 10(2a + 9d) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{ \because \: T_1 = a} \\ \\ \implies \bf \: 50a + 100d \: = 20a \: + 90d \: \\ \\ \implies \bf \: 10d \: = - 30a \: \\ \\ \implies \bf \: d \: = - 3a \implies \bf \: - 3 \times 2 = - 6 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{ \because \: \: a = 2 }$

अतः श्रेणी का 20 वां पद

$T_{20} \: = a \: + (20 - 1)d \\ \\ \implies \: 2 + 19 \times ( - 6) \\ \\ \implies \: 2 - 114 \\ \\ \implies \: - 112 _{\bf \: proved}$