Question

समांतर श्रेणी $- 6, \,-\dfrac{11}{2}, \,-5$,... के कितने पदों का योगफल $-25$ है?

Answer 1

Answer:

20 या 5

Step-by-step explanation:

मान लो के दी गयी समान्तर श्रेणी में  n पदों का योगफल -25 है |  

यह जाना जाता है कि,

S_n =  n/2  [ 2a + (n - 1) d ]

जहाँ, n = पदों की संख्या  

a = प्रथम पद  

d = सार्व अंतर  

यहाँ पे, a = -6  

d = - 11 /2 + 6 = -11+12/2 = 1/2  

इसलिए, हम प्राप्त करते हैं  :

-25 = n/2 [ 2 x (-6) + (n-1) (1/2)]

=> -50 = n [ -12 + n/2 - 1/2 ]

=> -50 = n [ -25/2 + n/2 ]

=> -100 = n (-25 + n )

=> n^2 - 25n + 100 = 0

=> n^2 - 5n - 20n + 100 = 0

=> n (n-5) -20 (n-5) = 0

=> n = 20 or 5

Answer 2

$\bold{\huge{\underline{Answer-}}}$

महत्वपूर्ण तथ्य ☞

1. समान्तर श्रेढी को संक्षेप में स० श्रे० ( A . P . ) लिखा जाता है ।

2. समान्तर श्रेढी के प्रथम पद को a , सार्वअन्तर को d तथा n वें पद को T , से प्रदर्शित किया जाता है ।

3. समान्तर श्रेढी के किसी भी पद में से उसका पूर्व पद घटाकर सार्वअन्तर ज्ञात किया जा सकता है

अर्थात समान्तर श्रेढी के किन्हीं दो क्रमागत पदों का अन्तर सदैव अचर होता है ।

प्रत्येक श्रेढी के कम - से - कम तीन पद अवश्य लिखने होते है

$\bold{\huge{\underline{Solution-}}}$

हल-

माना n पदों का योगफल -25

पहला पद a = -6

सार्वअंतर

$\bf \: d = T_2 - T_1 \\ \\ \implies \bf \: - \frac{11}{2} - ( - 6) = \frac{1}{2}$

तब n के पदों का योग

$= \frac{n}{2} \{ \: 2a \: + (n - 1)d \} \: \\ \\ = \frac{n}{2} \{ \: (2 \times - 6) + (n - 1) \times \frac{1}{2} \} \\ \\ = \frac{n}{2} \{ \: - 12 + \frac{n - 1}{2} \} \: \\ \\ = \frac{n}{2} \times \frac{n - 25}{2} \\ \\ = \frac{ {n}^{2} - 25n}{4}$

प्रश्नुसार n पदों का योगफल = - 25

$\bf \: \frac{ {n}^{2} - 25n }{4} = - 25 \\ \\ \implies \bf \: {n}^{2} - 25n \: + 100 = 0 \\ \\ \implies \bf \: {n}^{2} - 5n \: - 20n \: + 100 = 0 \\ \\ \implies \bf \: n(n - 5) - 20(n - 5) = 0 \\ \\ \implies \bf \: (n - 5) \: (n - 20) = 0 \:$

n = 5 या 20

अतः पदों की संख्या = 5 , 20