Question

$1$ से $2001$ तक के विषम पूर्णाकों का योग ज्ञात कीजिए।

Answer 1

Answer:

1002001

Step-by-step explanation:

1 से 2001 तक के विषम पूर्णाक 1,3, 5, ..., 1999, 2001 है |  

यह क्रम समांतर श्रेणी बनता है |  

यहाँ, प्रथम पद,  a = 1  

सार्व अंतर, d = 2  

यहाँ पे,  a + ( n - 1 ) d = 2001

=> 1 + ( n - 1) 2 = 2001

=> 2n - 2 = 2000

=> 2n = 2002

=> n = 1001

S_n =  n/2  [ 2a + (n - 1) d ]

∴ S_n = 1001/2 [ 2 (1) + ( 1001 - 1) x 2 ]

S_n = 1001/2 [ 2 + 1000 x 2 ]

S_n = 1001/ 2 x 2002

S_n = 1001 x 1001

S_n = 1002001

इसप्रकार, 1 से 2001 तक के विषम पूर्णाकों का योग 1002001 है |

Answer 2

$\bold{\huge{\underline{Answer-}}}$

महत्वपूर्ण तथ्य ☞

1. समान्तर श्रेढी को संक्षेप में स० श्रे० ( A . P . ) लिखा जाता है ।

2. समान्तर श्रेढी के प्रथम पद को a , सार्वअन्तर को d तथा n वें पद को T , से प्रदर्शित किया जाता है ।

3. समान्तर श्रेढी के किसी भी पद में से उसका पूर्व पद घटाकर सार्वअन्तर ज्ञात किया जा सकता है

अर्थात समान्तर श्रेढी के किन्हीं दो क्रमागत पदों का अन्तर सदैव अचर होता है ।

प्रत्येक श्रेढी के कम - से - कम तीन पद अवश्य लिखने होते है

$\bold{\huge{\underline{Solution-}}}$

हल-

1 से 2001 तक के विषम पूर्णाकों का अनुक्रम निम्नलिखित है

1,3,5,7,9........,2001

यह अनुक्रम एक समान्तर श्रेणी है जिसके लिए

पहला पद a = 1 सार्वअंतर d = 3 - 1 = 2

तथा n वाँ या अंतिम पद l = 2001

सूत्र से n वाँ पद

$\bf \: T_n \: = a + (n - 1)d \: = 2001 \\ \\ \implies \bf \: 1 + (n - 1) \times 2 = 2001 \\ \\ \implies \bf \: 2n - 1 = 2001 \\ \\ \implies \bf \: 2n \: = 2001 + 1 \\ \\ \implies \bf \: 2n \: = 2002 \\ \\ \implies \bf \: n \: = \frac{2002}{2} = 1001$

तब अनुक्रम 1,3,5,7,9....... के 1001 पदों का योग

$\bf \: S_n = \frac{n}{2} \{2a + (n - 1)d \} \\ \\ \implies \bf \: S_{1001} = \frac{1001}{2} \{ 2 \times 1(1001 - 1)2\} \\ \\ \implies \bf \: \frac{1001}{2} \times (2 + 2000) \\ \\ \implies \bf \: \frac{1001}{2} \times 2002 \\ \\ \implies \bf \: {(1001)}^{2} \implies (1000 + 1) {}^{2} \\ \\ \implies \bf \: {(1000)}^{2} + (2 \times 1000 \times 1) + {1}^{2} \\ \\ \implies \bf \: 1000000 + 2000 + 1 \\ \\ \implies \bf \: 1002001$

अतः 1 से 2001 के विषम पूर्णाकों का योग = 1002001