दर्शाइए कि एक वर्ग के विकर्ण बराबर होते हैं और परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।
Answers
दिया है : ABCD एक वर्ग है जिसके विकर्ण AC तथा BD बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं।
सिद्ध करना है :
विकर्ण बराबर होते हैं और परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।
AC = BD, AO = OC तथा ∠AOB = 90°
उपपत्ति :
ΔABC तथा ΔBAD में,
BC = BA (उभयनिष्ठ)
∠ABC = ∠BAD = 90°
AC = AD (दिया है)
∴ ΔABC ≅ ΔBAD ( SAS सर्वांगसमता नियम द्वारा )
अतः AC = BD (CPCT द्वारा)
∴ विकर्ण बराबर हैं।
ΔAOB तथा ΔCOD में,
∠BAO = ∠DCO (एकांतर अंत: कोण)
∠AOB = ∠COD (शीर्षाभिमुख कोण)
AB = CD (वर्ग की भुजाएं )
∴ ΔAOB ≅ ΔCOD (AAS सर्वांगसमता नियम द्वारा )
तब, AO = CO (CPCT द्वारा)
ΔAOB तथा ΔCOB में,
OB = OB (उभयनिष्ठ)
AO = CO (उपर सिद्ध किया जा चुका है)
AB = CB (वर्ग की भुजाएं)
∴ ΔAOB ≅ ΔCOB (SSS सर्वांगसमता नियम द्वारा )
तब, ∠AOB = ∠COB (CPCT द्वारा)
∵ ∠AOB + ∠COB = 180° (रेखीय युग्म )
∠AOB + ∠AOB = 180°
2∠AOB = 180°
∠AOB = 180°/2
∠AOB = 90°
∠AOB = ∠COB = 90°
अतः , AC = BD, AO = OC तथा ∠AOB = 90°
इति सिद्धम
आशा है कि यह उत्तर आपकी मदद करेगा।।।।
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Answer:
Step-by-step explanation:विकर्ण बराबर होते हैं और परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।
AC = BD, AO = OC तथा ∠AOB = 90°
उपपत्ति :
ΔABC तथा ΔBAD में,
BC = BA (उभयनिष्ठ)
∠ABC = ∠BAD = 90°
AC = AD (दिया है)
∴ ΔABC ≅ ΔBAD ( SAS सर्वांगसमता नियम द्वारा )
अतः AC = BD (CPCT द्वारा)
∴ विकर्ण बराबर हैं।
ΔAOB तथा ΔCOD में,
∠BAO = ∠DCO (एकांतर अंत: कोण)
∠AOB = ∠COD (शीर्षाभिमुख कोण)
AB = CD (वर्ग की भुजाएं )
∴ ΔAOB ≅ ΔCOD (AAS सर्वांगसमता नियम द्वारा )
तब, AO = CO (CPCT द्वारा)
ΔAOB तथा ΔCOB में,
OB = OB (उभयनिष्ठ)
AO = CO (उपर सिद्ध किया जा चुका है)
AB = CB (वर्ग की भुजाएं)
∴ ΔAOB ≅ ΔCOB (SSS सर्वांगसमता नियम द्वारा )
तब, ∠AOB = ∠COB (CPCT द्वारा)
∵ ∠AOB + ∠COB = 180° (रेखीय युग्म )
∠AOB + ∠AOB = 180°
2∠AOB = 180°
∠AOB = 180°/2
∠AOB = 90°
∠AOB = ∠COB = 90°