Question

The 26th, 11th and the last term of AP are 0, 3 , and - 1 / 5 respectively. Find the common difference and the number of terms.

Answer 1

$\underline{\mathfrak{Solution : }}$


$\mathsf{Formula \: to \: be \: used : } \\ \\ \boxed{\mathsf{\implies T_{n} \: = \: a \: + \: ( n \: - \: 1 )d }}$


$\mathsf{Let,} \\ \\ \mathsf{\implies First \: term \: = \: a } \\ \\ \mathsf{\implies Common \: difference\: = \: d } \\ \\ \mathsf{\implies No. \: of \: terms \: = \: n}$



$\underline{\mathsf{Given,}}$


$\mathsf{ \implies T_{26} \: = \: a \: + \:( 26 \: - \:1 )d } \\ \\ \mathsf{\implies 0 \: = \: a \: + \: 25d } \\ \\ \mathsf{\implies 0 \: - \: 25d \: = \: a } \\ \\ \mathsf{\therefore \quad a \: = \: -25d \quad...(1)}$

$\underline{\mathsf{ \: \: And,} \: \: }$


$\mathsf{\implies T_{11} \: = \: a \: + \: ( 11 \: - \: 1)d} \\ \\ \mathsf{\implies 3 \: = \: a \: + \: 10d \qquad...(2)} \\ \\ \mathsf{Plug \: the \: value \: of \: ( 1 ) \: in \: (2),}$


$\mathsf{ \implies 3 \: = \: - 25d \: + \: 10d } \\ \\ \mathsf{ \implies 3 \: = \: - 15d} \\ \\ \mathsf{ \implies d \: = \: \dfrac{ \: \: \: 3 \: \: }{ - 15 \: }} \\ \\ \mathsf{ \therefore \quad d \: = \: \dfrac{ - 1 \: }{ \: \: 5}}$


$\mathsf{Plug \: the \: value \: of \: \textbf{d} \: in \: (1),} \\ \\ \mathsf{\implies a \: = \: -25d } \\ \\ \mathsf{\implies a \: = \: (-25) \: \times \: (\dfrac{-1}{5})} \\ \\ \mathsf{ \implies a \: = \: \dfrac{25}{5} } \\ \\ \mathsf{ \therefore \quad a \: = \: 5 \: }$


$\underline{\mathsf{\: \: Now,}\: \: }$


$\mathsf{\implies l \: = \: a \: + \: ( n \: - \: 1)d } \\ \\ \mathsf{Plug \: the \: value \: of \: \textbf{a} \: and \: \textbf{d},}$

$\mathsf{ \implies \dfrac{ - 1 \: }{5} \: = \: 5 \: + \: ( n \: - \: 1)( \dfrac{ - 1 \: }{5}) } \\ \\ \mathsf{ \implies \dfrac{ - 1 \: }{5} \: = \: 5 \: - \: \dfrac{ n }{5} \: + \: \dfrac{1}{5} } \\ \\ \mathsf{ \implies \frac{ - 1 \: }{ \cancel{5}} \: = \: \dfrac{25 \: - \: n \: + \: 1}{ \cancel{5}} } \\ \\ \mathsf{ \implies - 1 \: = \: 25 \: - \: n \: + \: 1}$


$\mathsf{ \implies n \: = \: 25 \: + \: 1 \: + \: 1} \\ \\ \mathsf{ \therefore \quad n \: = \: 27}$



$\boxed{\underline{\mathsf{\implies Common \: difference \: = \: \dfrac{-1 \: }{5} \: \: and , \: \: No. \: of \: terms \: = \: 27. }}\: \:}$