Question

the first term of an a.p is 14 and the sums of the first five terms and the first ten terms are equal is magnitude but opposite in sign. The 3rd term of the AP is​

Answer 1

$\underline{\underline{\huge{\gray{\tt{\textbf Answer :-}}}}}$

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$\sf\large\bold{\orange{\underline{\blue{ Given :-}}}}$

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• First term of an AP is 14
• The sums of the first five terms and the first ten terms are equal is magnitude but opposite in sign

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$\sf\large\bold{\orange{\underline{\blue{ To \: Find :-}}}}$

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• The 3rd term of the AP

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$\sf\large\bold{\orange{\underline{\blue{ Solution :-}}}}$

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

We know that ,

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

$\underline{\purple{ \underline{\orange{\bold{\texttt{Sum of n terms :}}}}}}$

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

➠ $\sf S_n = \dfrac { n } { 2 } (2a + (n - 1)d)$ ⚊⚊⚊⚊ ⓵

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

Where ,

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

• $\sf S_n = Sum \: of \: nth \: term$
• n = Number of terms
• a = First term
• d = Common difference

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

$\underline{ \underline{\bold{\texttt{Sum of first 5th terms :}}}}$

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

Let the sum of the first five terms be "x"

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

• $\sf S_n = x$
• n = 5
• a = 14
• d = d

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

⟮ Putting the above values in ⓵ ⟯

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

: ➜ $\sf S_n = \dfrac { n } { 2 } (2a + (n - 1)d)$

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

: ➜ $\sf x = \dfrac { 5} { 2 } (2(14) + (5 - 1)d)$

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

: ➜ $\sf x = \dfrac { 5} { 2 } (28 + 4d)$

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

: ➜ $\sf x = 5(14 + 2d)$ ⚊⚊⚊⚊ ⓶

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

$\underline{ \underline{\bold{\texttt{Sum of first 10 terms :}}}}$

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

Given that , The sums of the first five terms and the first ten terms are equal is magnitude but opposite in sign

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

Thus ,

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

Let the sum of the first 10 terms be "-x"

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

• $\sf S_n = -x$
• n = 10
• a = 14
• d = d

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

⟮ Putting the above values in ⓵ ⟯

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

: ➜ $\sf S_n = \dfrac { n } { 2 } (2a + (n - 1)d)$

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

: ➜ $\sf -x = \dfrac { 10} { 2 } (2(14) + (10 - 1)d)$

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

: ➜ $\sf -x = \dfrac { 10} { 2 } (28 + 9d)$

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

: ➜ $\sf -x = 5(28 + 9d)$

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

Multiplying the above equation by -1

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

: ➜ $\sf -1[-x] = -1[5(28 + 9d)]$

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

: ➜ $\sf x = -5(28 + 9d)$ ⚊⚊⚊⚊ ⓷

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

Now ,

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

Equation ⓶ = Equation ⓷

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

Thus ,

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

: ➜ $\sf 5(14 + 2d) = -5(28 + 9d)$

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

: ➜ $\sf (14 + 2d) = -(28 + 9d)$

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

: ➜ $\sf 14 + 2d = -28 - 9d$

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

: ➜ $\sf 9d + 2d = -28 - 14$

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

: ➜ $\sf 11d = -42$

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

: ➜ $\sf d = \dfrac { -42}{11}$

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

$\underline{\purple{ \underline{\orange{\bold{\texttt{For nth term of the AP :}}}}}}$

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➠ $\sf a_n = a + (n - 1)d$ ⚊⚊⚊⚊ ⓸

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Where ,

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

• $\sf a_n = nth \: term$
• n = Number of terms
• a = First term
• d = Common difference

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

$\underline{ \underline{\bold{\texttt{For the 3rd term :}}}}$

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

• $\sf a_n = a_3$
• $\sf n = 3$
• $\sf a = 14$
• $\sf d = \dfrac { -42 } { 11 }$

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

⟮ Putting the above values in ⓸ ⟯

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

: ➜ $\sf a_3 = 14 + (3 - 1)\times \dfrac { -42 } { 11 }$

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

: ➜ $\sf a_3 = 14 + 2\times \dfrac { -42 } { 11 }$

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

: ➜ $\sf a_3 = 14 + \dfrac { -84 } { 11 }$

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

: ➜ $\sf a_3 = \dfrac {154 - 84 } { 11 }$

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

: ➜ $\sf a_3 = \dfrac {70} { 11 }$

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

: : ➨ $\sf a_3 = 6.3636$

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

• Hence the $\sf a_3$ term of the AP is approximately 6.36

Answer 2

$\underline{\underline{\huge{\gray{\tt{\textbf Answer :-}}}}}$

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$\sf\large\bold{\orange{\underline{\blue{ Given :-}}}}$

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

First term of an AP is 14

The sums of the first five terms and the first ten terms are equal is magnitude but opposite in sign

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

$\sf\large\bold{\orange{\underline{\blue{ To \: Find :-}}}}$

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

The 3rd term of the AP

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

$\sf\large\bold{\orange{\underline{\blue{ Solution :-}}}}$

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

We know that ,

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

$\underline{\purple{ \underline{\orange{\bold{\texttt{Sum of n terms :}}}}}}$

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

➠ $\sf S_n = \dfrac { n } { 2 } (2a + (n - 1)d)$ ⚊⚊⚊⚊ ⓵

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

Where ,

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

$\sf S_n = Sum \: of \: nth \: term$

n = Number of terms

a = First term

d = Common difference

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$\underline{ \underline{\bold{\texttt{Sum of first 5th terms :}}}}$

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

Let the sum of the first five terms be "x"

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

$\sf S_n = x$

n = 5

a = 14

d = d

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⟮ Putting the above values in ⓵ ⟯

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: ➜ $\sf S_n = \dfrac { n } { 2 } (2a + (n - 1)d)$

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

: ➜ $\sf x = \dfrac { 5} { 2 } (2(14) + (5 - 1)d)$

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

: ➜ $\sf x = \dfrac { 5} { 2 } (28 + 4d)$

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

: ➜ $\sf x = 5(14 + 2d)$ ⚊⚊⚊⚊ ⓶

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$\underline{ \underline{\bold{\texttt{Sum of first 10 terms :}}}}$

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Given that , The sums of the first five terms and the first ten terms are equal is magnitude but opposite in sign

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Thus ,

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Let the sum of the first 10 terms be "-x"

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

$\sf S_n = -x$

n = 10

a = 14

d = d

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⟮ Putting the above values in ⓵ ⟯

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: ➜ $\sf S_n = \dfrac { n } { 2 } (2a + (n - 1)d)$

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: ➜ $\sf -x = \dfrac { 10} { 2 } (2(14) + (10 - 1)d)$

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: ➜ $\sf -x = \dfrac { 10} { 2 } (28 + 9d)$

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: ➜ $\sf -x = 5(28 + 9d)$

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Multiplying the above equation by -1

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

: ➜ $\sf -1[-x] = -1[5(28 + 9d)]$

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: ➜ $\sf x = -5(28 + 9d)$ ⚊⚊⚊⚊ ⓷

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Now ,

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Equation ⓶ = Equation ⓷

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Thus ,

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: ➜ $\sf 5(14 + 2d) = -5(28 + 9d)$

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: ➜ $\sf (14 + 2d) = -(28 + 9d)$

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: ➜ $\sf 14 + 2d = -28 - 9d$

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: ➜ $\sf 9d + 2d = -28 - 14$

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: ➜ $\sf 11d = -42$

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: ➜ $\sf d = \dfrac { -42}{11}$

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$\underline{\purple{ \underline{\orange{\bold{\texttt{For nth term of the AP :}}}}}}$

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➠ $\sf a_n = a + (n - 1)d$ ⚊⚊⚊⚊ ⓸

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Where ,

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$\sf a_n = nth \: term$

n = Number of terms

a = First term

d = Common difference

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$\underline{ \underline{\bold{\texttt{For the 3rd term :}}}}$

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$\sf a_n = a_3$

$\sf n = 3$

$\sf a = 14$

$\sf d = \dfrac { -42 } { 11 }$

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⟮ Putting the above values in ⓸ ⟯

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: ➜ $\sf a_3 = 14 + (3 - 1)\times \dfrac { -42 } { 11 }$

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: ➜ $\sf a_3 = 14 + 2\times \dfrac { -42 } { 11 }$

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: ➜ $\sf a_3 = 14 + \dfrac { -84 } { 11 }$

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: ➜ $\sf a_3 = \dfrac {154 - 84 } { 11 }$

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: ➜ $\sf a_3 = \dfrac {70} { 11 }$

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: : ➨ $\sf a_3 = 6.3636$

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Hence the $\sf a_3$ term of the AP is approximately 6.36