Question

The number of a rational number is 5 less than the denominator if the denominator is increased by 7 and numerator by 2 we again get the same rational number find the number

Answer 1

let the rational be x/y

x = y - 5

x - y = -5 eq1

(x + 2)/(y + 7) = x / y

y (x + 2) = x (y + 7)

xy + 2y = xy + 7x

7x - 2y = 0 eq2

Now put value of y from eq1 in eq2 we get

7x - 2 (x + 5) = 0

7x -2x -10 = 0

5x - 10 = 0

x = 10/5 = 2

Now put value of x in eq 1

x - y = -5

2 - y = -5

y = 5 + 2 = 7

Rational no is x /y = 2/7


Thanks

Answer 2

|| SOLUTION ||

Let the denominator of the required rational number be x

$\sf \: Then, \: its \: numerator = \sf \: x - 5$

$\\ \sf Rationa l \: number = \sf \frac{x - 5}{x} \\ \\ \sf \: New \: rational \: number = \frac{x - 5 + 2}{x + 7} = \frac{x - 3}{x + 7}$

According to the Question,

$\\ \sf \frac{x - 5}{x} = \frac{x - 3}{x + 7}$

$\\ \implies \sf \: (x - 5)(x + 7) = x(x - 3) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: (Cross \: multipication) \\ \\ \implies \sf {x}^{2} - 5x + 7x - 35 = {x}^{2} - 3x \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf \implies {x}^{2} + 2x - 35 = {x}^{2} - 3x \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \implies \sf \: 2x - 35 = {x}^{2} - 3 - {x}^{2} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \ (Transposing \: x² \: to \: R.H.S) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \implies \sf \: 2x - 35 = - 3x \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

$\\ \implies \sf \: (x - 5)(x + 7) = x(x - 3) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: (Cross \: multipication) \\ \\ \implies \sf {x}^{2} - 5x + 7x - 35 = {x}^{2} - 3x \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf \implies {x}^{2} + 2x - 35 = {x}^{2} - 3x \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \implies \sf \: 2x - 35 = {x}^{2} - 3 - {x}^{2} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \ (Transposing \: x² \: to \: R.H.S) \: \: \: \: \: \ \\ \\ \implies \sf \: 2x - 35 = - 3x \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \implies \sf \: 2x + 3x = 35 \: \: \: \: \ (Transposing \: -3x \: to \: L.H.S. \: and \: -35 \: to \: R.H.S.)$

$\\ \\ \implies \sf \: 5x = 35 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \implies \sf \: \frac{5x}{5} = \frac{35}{5} \: \: \: \: \: \: \\ \\ \implies \sf \: x = 5 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

$\sf \: Denominator \: = \: 7 \\ \\ \therefore \sf \: Numerator = 7 - 5 = 2$

$\\ \\ \sf \: The \: rational \: number \: is \: \frac{x - 5}{x} = \frac{7 - 5}{7} = \frac{2}{7} \\ \\ { \boxed{\ \therefore\rm \: The \: required \: rational \: number \: is \: \frac{2}{7} }}$