Question

वायु में ध्वनि का वेग माध्यम में प्रत्यास्थता गुणांक और उसके घनत्व पर निर्भर करता है विमीय विधि से ध्वनि के वेग के लिए सूत्र की स्थापना कीजिए ​

Answer 1

विमीय विधि से स्थापित ध्वनि के लिए वेग का सूत्र निम्न है:

$\boxed{v=k\sqrt{\frac{E}{\rho}}}$

Explanation:

माना वायु में ध्वनि का वेग v है, प्रत्यास्थता गुणांक E तथा घनत्व ρ है

प्रश्नानुसार, वेग v, प्रत्यास्थता गुणांक E पर निर्भर करता है

अतः

$v\propto E^a$ ........ (1)

तथा वेग v, घनत्व ρ पर निर्भर करता है

अतः

$v\propto \rho^b$ ......... (2)

समीकरण (1) तथा (2) से

$v\propto E^a\rho^b$

$\implies v=kE^a\rho^b$ (जहाँ k एक नियतांक है) ..... (3)

हम जानते हैं कि

वेग v का विमीय सूत्र = $[LT^{-1}]$ = $[M^0LT^{-1}]$

घनत्व ρ का विमीय सूत्र = $ML^{-3}]$ = $ML^{-3}T^0]$

प्रत्यास्थता गुणांक E का विमीय सूत्र = प्रतिबल का विमीय सूत्र = बल का विमीय सूत्र/क्षेत्रफल का विमीय सूत्र

= $\frac{[MLT^{-2}]}{[L^2]}$

= $[ML^{-1}T^{-2}]$

k एक विमा विहीन नियतांक है

अतः

वेग का विमीय सूत्र = प्रत्यास्थता गुणांक का विमीय सूत्र^a × घनत्व का विमीय सूत्र ^b

या $[M^0LT^{-1}]=[ML^{-1}T^{-2}]^a[ML^{-3}T^0]^b$

या $[M^0LT^{-1}]=[M^{a+b}L^{-a-3b}T^{-2a+0}]$

दोनों तरफ की घातों की तुलना करने पर

$a+b=0$ ......... (1)

$-a-3b=1$

या $a+3b=-1$ ....... (2)

$-2a=-1$

या $a=\frac{1}{2}$

अतः समीकरण (1) अथवा (2) से

$b=-\frac{1}{2}$

इस प्रकार, समीकरण (3) से

$v=kE^{-1/2}\rho^{1/2}$

या $v=k\sqrt{\frac{E}{\rho}}$

आशा है यह उत्तर आपकी सहायता करेगा|

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प्र. सरल आवृत गति हुए पिंड की ऊर्जा E , पिंड के द्रव्यमान m ,आवृति n तथा आयाम A पर निर्भर करती है विमीय विधि से सूत्र स्थापित कीजिये |  

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