Question

without expanding the determinant, show that (a-b) is a factor of the given determinant​

Answer 1

Given: The determinant    | 1   a   a^2  |

                                            |  1   b   b^2  |

                                            |  1   c   c^2  |

To find: Whether (a - b) is a factor of the given determinant​.

Solution:

• Now the given determinant is:    |  1    a   a^2 |

                                                              |  1   b   b^2 |

                                                              |  1   c   c^2  |

• So in this, we need to make some transformations.

• So first:

• R1 ---> R1 - R2 and R2 ---> R2 - R3

              |  1    a   a^2 |                      |  0    a-b   a^2 - b^2 |

              |  1   b   b^2 |     ------->       |  0     b-c   b^2 - c^2 |

              |  1   c   c^2  |                      |  1        c         c^2      |

• Now expanding the determinant, from R3, we get:

              1 { ( a-b )( b^2 - c^2 ) - ( b-c )( a^2 - b^2 ) }

• Using the formula, a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)

              1 { ( a-b )( b^2 - c^2 ) - ( b-c )( a-b )( a+b ) }

• Taking (a - b) common from both terms, we get:

              ( a - b ) { ( b^2 - c^2 ) - ( b-c )( a+b )

Answer:

             So in solution part we proved that  (a-b) is a factor of the given determinant​.