Question

यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग, किसी पूर्णांक m के लिए 3m या 3m +1 के रूप का होता है।
[संकेत : यह मान लीजिए x कोई धनात्मक पूर्णांक है। तब, यह 3q, 3q+1 या 3q+2 के रूप में लिखा जा सकता है। इनमें से प्रत्येक का वर्ग कीजिए और दर्शाइए कि
इन वर्गों को 3m या 3m + 1 के रूप में लिखा जा सकता है।​

Answer 1

$\huge\underline\frak{\fbox{Question :-}}$

यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग, किसी पूर्णांक m के लिए 3m या 3m +1 के रूप का होता है।

[संकेत : यह मान लीजिए x कोई धनात्मक पूर्णांक है। तब, यह 3q, 3q+1 या 3q+2 के रूप में लिखा जा सकता है। इनमें से प्रत्येक का वर्ग कीजिए और दर्शाइए कि इन वर्गों को 3m या 3m + 1 के रूप में लिखा जा सकता है।

$\huge\underline\frak{\fbox{AnSwEr :-}}$$<font \: color=purple >$

माना x कोई धन पूर्णाक है, तब यह 3q,3q+ 1 या 3q+2 के रूप में होगा, हमकों सिद्ध करना है कि प्रत्येक का वर्ग 3m या 3m + 1 के रूप में लिखा जा सकता है।

अब,

$\longrightarrow$ (3q)² = 9q = 3 (3q²),

जहाँ

$\longrightarrow$ m = 3q²

$\longrightarrow$(3q+ 1)²

$\longrightarrow$ 9q²+ 61 +1

$\longrightarrow$ 3 (3q² + 2q) + 1|

$\longrightarrow$ 3m + 1,

जहाँ

$\longrightarrow$ m = 3q²+ 2q²

तथा,

$\longrightarrow$ (3q+ 2)² = 9q² + 12q+4

$\longrightarrow$ 3 (3q²+4q+1)+1

$\longrightarrow$ 3m + 1,

जहाँ

$\longrightarrow$ m=3q²+ 4q+1