Question

यदि a, b, c, d गुणोत्तर श्रेणी में हैं, तो सिद्ध कीजिए कि $(a^n + b^n), \,(b^n + c^n), \,(c^n + d^n)$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं।

Answer 1

Answer:

Step-by-step explanation:

प्रश्नानुसार    a , b, c व  d  गुणोत्तर श्रेढ़ी में है अर्थात  

$\frac{d}{c} =\frac{c}{b} =\frac{b}{a} =r\\\\=>b=ar,c=br=ar^2,d=cr=ar^3$

सिद्ध करना है कि  $a^n+b^n,b^n+c^n,c^n+d^n$ गुणोत्तर श्रेढ़ी में है।  

अर्थात  

          $(b^n+c^n)^2=(a^n+b^n)(c^n+d^n)\\\\L.H.S.=(b^n+c^n)^2\\\\ ({(ar)}^n+(ar^2){^n})^2\\\\=(a^nr^n+a^n.r^{2n})^2\\\\=(a^nr^n(1+r^n))^2\\\\=a^{2n}.r^{2n}(1+r^n)^2\\\\R.H.S.=(a^n+b^n)(c^n+d^n)\\\\=[a^n+(ar)^n][(ar^2)^n+ar^3)^n]\\\\=a^n(1+r^n)[a^nr^{2n}+a^nr^{3n}]\\\\=a^n(1+r^n)*a^n.r^{2n}(1+r^n)\\\\=a^{2n}r^{2n}(1+r^n)^2$

Answer 2

सिद्ध किया की यदि a, b, c, d गुणोत्तर श्रेणी में हैं  तो  aⁿ + bⁿ  , bⁿ + cⁿ  , cⁿ + dⁿ गुणोत्तर श्रेणी में हैं

Step-by-step explanation:

a, b, c, d गुणोत्तर श्रेणी में हैं

माना  सार्व अनुपात = r  

b = ar

c = ar²

d = ar³

aⁿ + bⁿ  , bⁿ + cⁿ  , cⁿ + dⁿ गुणोत्तर श्रेणी में हैं

यदि  (bⁿ + cⁿ )² = (aⁿ + bⁿ)(cⁿ + dⁿ)

LHS

=  (bⁿ + cⁿ )²

= ( (ar)ⁿ + (ar²)ⁿ)²

= (arⁿ)²(1 + rⁿ)²

RHS

= (aⁿ + bⁿ)(cⁿ + dⁿ)

= (aⁿ + (ar)ⁿ)((ar²)ⁿ + (ar³)ⁿ)

= aⁿ(1  + rⁿ)(ar²)ⁿ(1 + rⁿ)

= aⁿaⁿr²ⁿ(1 + rⁿ)²

= a²ⁿr²ⁿ(1 + rⁿ)²

=(arⁿ)²(1 + rⁿ)²

LHS = RHS

QED

इति सिद्धम

सिद्ध किया की यदि a, b, c, d गुणोत्तर श्रेणी में हैं  तो  aⁿ + bⁿ  , bⁿ + cⁿ  , cⁿ + dⁿ गुणोत्तर श्रेणी में हैं

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