यदि A तथा B समान कोटि के वर्ग आव्यूह इस प्रकार हैं कि AB - BA. है तो गणितीय
आगमन द्वारा सिद्ध कीजिए कि ABn = BnA होगा। इसके अतिरिक्त सिद्ध कीजिए कि
समस्त n ∈ N के लिए (AB)n = AnBn होगा।
Answers
Given : A तथा B समान कोटि के वर्ग आव्यूह इस प्रकार हैं कि AB = BA
To find : गणितीय आगमन द्वारा सिद्ध कीजिए कि ABⁿ = BⁿA होगा , समस्त n ∈ N के लिए (AB)ⁿ = AⁿBⁿ होगा।
Solution:
ABⁿ = BⁿA
n = 1
=> AB = BA ( दिया हुआ )
n = x
ABˣ = BˣA Eq1
n = x + 1
ABˣ⁺¹ = Bˣ⁺¹A
LHS
= ABˣ⁺¹
= ABˣ.B
Eq1 ABˣ = BˣA
= BˣAB
AB = BA
= BˣBA
= Bˣ⁺¹A
= RHS
QED
इति सिद्धम
(AB)ⁿ = AⁿBⁿ
n = 1
=> AB = AB
n = x
(AB)ˣ = AˣBˣ Eq1
n = x + 1
(AB)ˣ⁺¹ = Aˣ⁺¹ Bˣ⁺¹
LHS
(AB)ˣ⁺¹
= (AB)ˣAB
(AB)ˣ = AˣBˣ Eq1
= AˣBˣAB
AB = BA
= AˣBˣBA
= AˣBˣ⁺¹A
ABˣ⁺¹ = Bˣ⁺¹A ( सिद्ध किया था )
= AˣABˣ⁺¹
= Aˣ⁺¹ Bˣ⁺¹
= RHS
QED
इति सिद्धम
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