Question

यदि किसी समांतर श्रेणी के nवें पद का योगफल $3n^2 + 5n$ हैं तथा इसका $m^{th}$वाँ पद $164$ है, तो l का मान ज्ञात कीजिए।

Answer 1

Answer:

m = 27

Step-by-step explanation:

मान लो के a और b समान्तर श्रेणी के प्रथम पद और सार्व अंतर है |  

a_m = a + ( m - 1) d = 164                          ... (1)

हम जानते है की : S_n = n/2 [2a + (n-1) d]  

प्रश्न के अनुसार,

n/2 [ 2a + ( n-1)d] = 3n^2 + 5n

=> na + (n^2/2) d - (n/2) d = 3n^2 + 5n

दोनों तरफ n^2  के गुणांक की तुलना करते हुवे , हमारे पास है  :

=> d/2 = 3

=> d = 6

दोनों तरफ n  के गुणांक की तुलना करते हुवे , हमारे पास है  :

=> a - d/2 = 5

=>  a - 6/2 = 5

=>  a = 8

समीकरण (1) से, हमारे पास है : 8 + ( m - 1) x 6 = 164

=>  6 (m-1) = 156

=>   m-1 = 26

=>   m = 27

इसलिए,  m का मूल्य 27 है |  

Answer 2

$\bold{\huge{\underline{Answer-}}}$

महत्वपूर्ण तथ्य ☞

1. समान्तर श्रेढी को संक्षेप में स० श्रे० ( A . P . ) लिखा जाता है ।

2. समान्तर श्रेढी के प्रथम पद को a , सार्वअन्तर को d तथा n वें पद को T , से प्रदर्शित किया जाता है ।

3. समान्तर श्रेढी के किसी भी पद में से उसका पूर्व पद घटाकर सार्वअन्तर ज्ञात किया जा सकता है

अर्थात समान्तर श्रेढी के किन्हीं दो क्रमागत पदों का अन्तर सदैव अचर होता है ।

प्रत्येक श्रेढी के कम - से - कम तीन पद अवश्य लिखने होते है

$\bold{\huge{\underline{Solution-}}}$

माना समांतर श्रेणी के n पदों का योगफल Sn है

$\bf \: S_n \: = {3n}^{2} + 5n \\ \\ = \bf \: n(3n + 5) \\ \\ = \bf \frac{n}{2} (6n + 10) \\ \\ \bf \: = \frac{n}{2} \{16 + (n - 1) \times 6 \} \\ \\ \bf \: = \frac{n}{2} \{2 \times 8 + (n - 1) \times 6 \}$

उक्त के दोनों पक्षों की तुलना Sn = n/2 [2a+(n-1)d] से करने पर

a = 8 तथा d = 6

प्रश्न अनुसार :- श्रेणी के m वाँ पद = 164

अर्थात a+(m-1)d = 164

8 + (m - 1) × 6 = 164

6(m-1) = 156

या m-1 = 26 या m = 27