Question

यदि किसी समांतर श्रेणी के प्रथम p पदों का योग, प्रथम q पदों के योगफल के बराबर हो तो प्रथम (p +q) पदों का योगफल ज्ञात कीजिए।

Answer 1

Answer: 0

Step-by-step explanation:

मान लीजिए a प्रथम पद, व d सार्व अंतर है।  

           p पदों का योगफल $S_{p}$ = $\frac{p}{2} [2a + (p-1)d]$         ....... (1)

           q पदों का योगफल $S_{q}$ = $\frac{q}{2} [2a + (q-1)d]$          ....... (2)

प्रश्नानुसार,

∴                $\frac{p}{2} [2a + (p-1)d]$ = $\frac{q}{2} [2a + (q-1)d]$  

⇒              p[2a + (p-1)d] = q[2a + (p-1)d]

⇒              2ap + p(p-1)d = 2aq + q(q-1)d

या              2a (p-q) + [p(p-1) - q(q-1)]d = 0

या              2a (p-q) + [ $p^{2}$ - $q^{2}$ - (p-q) ] = 0

या              2a (p-q) + (p-q) [p+q-1]d = 0                 ....... (3)

p-q से भाग करने पर

                2a + (p+q-1)d = 0

p+q पदों का योगफल = $\frac{p+q}{2}$ [2a + (p+q-1)d]

                                = $\frac{p+q}{2}$ × 0 = 0       [ समीकरण (3) से]

Answer 2

$\bold{\huge{\underline{Answer-}}}$

महत्वपूर्ण तथ्य ☞

1. समान्तर श्रेढी को संक्षेप में स० श्रे० ( A . P . ) लिखा जाता है ।

2. समान्तर श्रेढी के प्रथम पद को a , सार्वअन्तर को d तथा n वें पद को T , से प्रदर्शित किया जाता है ।

3. समान्तर श्रेढी के किसी भी पद में से उसका पूर्व पद घटाकर सार्वअन्तर ज्ञात किया जा सकता है

अर्थात समान्तर श्रेढी के किन्हीं दो क्रमागत पदों का अन्तर सदैव अचर होता है ।

प्रत्येक श्रेढी के कम - से - कम तीन पद अवश्य लिखने होते है

$\bold{\huge{\underline{Solution-}}}$

माना समांतर श्रेणी का प्रथम पद a तथा सार्व अंतर d है

तब प्रथम p पदों का योगफल

$\bf \: S_p = \frac{p}{2} \{2a + (p - 1)d \}$

और प्रथम q पदों का योगफल

$\bf \: S_q \: = \frac{q}{2} \{ \: 2a \: + (q - 1)d \}$

प्रश्न अनुसार दिया है p पदों का योगफल = q पदों का योगफल

अर्थात,

$\bf \: \frac{p}{2} \{2a + (p - 1)d \} \: = \bf \frac{q}{2} \{2a + (q - 1)d \} \\ \\ \implies \bf \: pa + \frac{p(p - 1)d}{2} = qa + \frac{q(q - 1)d}{2} \\ \\ \implies \bf \: (p - q)a = \{ \: \frac{q(q - 1)}{2} - \frac{p(p - 1)}{2} \} \: d \\ \\ \implies \bf \: (p - q)a = ( {q}^{2} - q - p {}^{2} + p \} \: \frac{d}{2} \\ \\ \implies \bf \: (p - q)a = \{ \: (p - q) - ( {p}^{2} - {q}^{2} ) \} \: \frac{d}{2} \\ \\ \therefore \mathtt (p - q)a = (p - q) \{1 - (p + q) \} \frac{d}{2} \\ \\ \implies \bf \: 2(p - q)a - (p - q) \{1 - (p + q)d \} \: = 0 \\ \\ \implies \bf \: 2a - \{1 - (p + q) \}d = 0 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{ \because \: p \neq \: q} \\ \\ \implies \bf \: 2a = \{ \: 1 - (p + q) \} \: d \: \: \: \: \: \: \: \: .........(1)$

तब इसी श्रेणी के (p+ q) पदों का योग

$\bf \: S_{p + q} = \frac{p + q}{2} [2a + \{(p + q) - 1 \} \: d] \\ \\ \implies \bf \: \frac{p + q}{2} [ \{1 - (p + q) \}d + \{(p + q) - 1 \}d]$

समीकरण एक से

$\implies \bf \: \frac{p + q}{2} [d - (p + q)d + (p + q)d - d] \\ \\ \implies \bf \: \frac{p + q}{2} \times 0 = 0$

अतः दी गई समांतर श्रेणी के प्रथम (p+q) पदों का योगफल = 0