Question

यदि $A = \begin{bmatrix} 0 & -tanα/2 \\ tanα/2 & 0 \end{bmatrix}$ तथा I कोटि का एक तत्समक आव्यूह है, तो सिद्ध कीजिए कि $I + A = (I - A)\begin{bmatrix} cosα & -sinα \\ sinα & \ cosα \end{bmatrix}$

Answer 1

Given :  A = $\begin{bmatrix} 0 &- tan(\frac{\alpha}{2}) \\ tan(\frac{\alpha}{2}) & 0 \end{bmatrix}$   I कोटि 2 का एक तत्समक आव्यूह है    

To find :   सिद्ध कीजिए कि I + A  = (I - A) $\begin{bmatrix} cos\alpha &- sin\alpha \\ sin\alpha & cos\alpha \end{bmatrix}$  

Solution:

I कोटि 2 का एक तत्समक आव्यूह है

=>  I = $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$  

A = $\begin{bmatrix} 0 &- tan(\frac{\alpha}{2}) \\ tan(\frac{\alpha}{2}) & 0 \end{bmatrix}$

LHS = I  + A

 =   $\begin{bmatrix} 1 &- tan(\frac{\alpha}{2}) \\ tan(\frac{\alpha}{2}) & 1 \end{bmatrix}$

I  - A   =   $\begin{bmatrix} 1 & tan(\frac{\alpha}{2}) \\ -tan(\frac{\alpha}{2}) & 1 \end{bmatrix}$

RHS = (I  - A)   $\begin{bmatrix} cos\alpha &- sin\alpha \\ sin\alpha & cos\alpha \end{bmatrix}$  

=   $\begin{bmatrix} 1 & tan(\frac{\alpha}{2}) \\ -tan(\frac{\alpha}{2}) & 1 \end{bmatrix}$   $\begin{bmatrix} cos\alpha &- sin\alpha \\ sin\alpha & cos\alpha \end{bmatrix}$  

= $\begin{bmatrix} cos\alpha + tan(\frac{\alpha}{2}) sin\alpha & -sin\alpha + tan(\frac{\alpha}{2}) cos\alpha \\ -tan(\frac{\alpha}{2}) cos\alpha + sin\alpha & +tan(\frac{\alpha}{2}) sin\alpha + cos\alpha \end{bmatrix}$

cosα  = cos²(α/2) - sin²(α/2)

sinα = 2sin(α/2)cos(α/2)

cosα  +tan(α/2) sinα  =  cos²(α/2) - sin²(α/2) + +tan(α/2)2sin(α/2)cos(α/2)

= cos²(α/2)  - sin²(α/2)  +  2sin²(α/2)

= cos²(α/2)  + sin²(α/2)

= 1

-sinα  +tan(α/2) cosα  = -2sin(α/2)cos(α/2) + tan(α/2) (cos²(α/2) - sin²(α/2))

=  -2sin(α/2)cos(α/2) + sin(α/2)cos(α/2)  - tan(α/2) sin²(α/2)

= -sin(α/2)cos(α/2)  - tan(α/2) sin²(α/2)

= -tan(α/2)(cos²(α/2)) - tan(α/2) sin²(α/2)

=  -tan(α/2)( cos²(α/2) + sin²(α/2))

=  -tan(α/2)

इसी प्रकार :    -tan(α/2) cosα + sinα = - (-sinα  +tan(α/2) cosα) = - ( -tan(α/2)) = tan(α/2)

=   $\begin{bmatrix} 1 &- tan(\frac{\alpha}{2}) \\ tan(\frac{\alpha}{2}) & 1 \end{bmatrix}$

= LHS

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