Question

यदि $(x + 1)^n$ के प्रसार में $(r - 1)^{th}$, $r^{th}$ और $(r + 1)^{th}$पदों के गुणांकों में $1 : 3 : 5$ का अनुपात हो, तो n तथा r का मान ज्ञात कीजिए l

Answer 1

Answer:

Step-by-step explanation:

$(x+1)^{n}$ का व्यापक पद $T_{r+1}$ = $nC_{r} x^{n-r}$

∴ (r+1)वें पद का गुणाँक = $nC_{r}$

∴ (r+1)वें पद का गुणाँक = $nC_{r}$ - 2

rवें पद का गुणाँक = $nC_{r-1}$

दिया हुआ है की $nC_{r-2}$ : $nC_{r-1}$ : $nC_{r}$ = 1 : 3 : 5

$\frac{nC_{r-1} }{nC_{r} }$ = $\frac{3}{5}$

या $\frac{\frac{n!}{(r-1)!(n-r+1)!} }{\frac{n!}{(r)!(n-r)!} }$ = $\frac{3}{5}$

या $\frac{(r)!(n-r)!}{(r-1)!(n-r+1)!}$ = $\frac{3}{5}$

या $\frac{r(r-1)!(n-r)!}{(r-1)!(n-r+1)!(n-r)!}$ = $\frac{3}{5}$

या $\frac{r}{n-r+1} = \frac{3}{5}$

या 5r = 3n - 3r + 3

3n - 8r = -3 ....... (1)

इसी प्रकार $nC_{r-2}$ : $nC_{r-1}$ = 1 : 3

$\frac{nC_{r-2} }{nC_{r-1} } = \frac{1}{3}$

$\frac{\frac{n!}{(r-2)!(n-r+2)!} }{\frac{n!}{(r-1)!(n-r+1)!} } = \frac{1}{3}$

या $\frac{(r-1)!(n-r+1)!}{(r-2)!(n-r+2)!} = \frac{1}{3}$

या $\frac{r-1}{n-r+2} = \frac{1}{3}$

या 3r - 3 = n - r + 2

n - 4r = -5 ......(2)

समीकरण (1) तथा (2) को हल करने पर, n = 7

और r = 3

अतः n = 7 , r = 3