Question

$(1 + a)^{m+n}$ के प्रसार में सिद्ध कीजिए कि $a^m$ तथा $a^n$ के गुणांक बराबर हैं।

Answer 1

Answer:

Step-by-step explanation:

द्विपद प्रमेय के आधार पर हम जानते है कि  

$(1+a)^{m+n}=[^{m+n}C_0+^{m+n}C_1a^1+^{m+n}C_2a^2+.......+^{m+n}C_ra^r+......+^{m+n}C_{m+n}a^{m+n}$

अतः  $a^m$ का गुणांक   =  $^{m+n}C_m=\frac{(m+n)!}{m!n!}$

तथा   $a^n$ का गुणांक    =  $^{m+n}C_n=\frac{(m+n)!}{m!n!}$

अर्थात  

$^{m+n}C_m=^{m+n}C_n$

अतः  यह कहा जा सकता है कि  $a^m$  तथा  $a^n$ के गुणांक  समान है।

Answer 2

महत्वपूर्ण तथ्य ☞

ऐसा वीजीय व्यंजक जिसमें दो पद होते हैं .

द्विपद ( Binomial ) कहलाता है ।

उदाहरण : a + b, 2x - 3y तथा 2/x - 1/x²

ऐसा बीजीय व्यंजक जिसमें तीन पद होते हैं , त्रिपद ( Trinomial ) कहलाता है ।

व्यापक रूप से ऐसा व्यंजक जिसमें दो से अधिक पद होते बहुपदी व्यंजक ( Multinomial Expression ) कहलाता है । द्विपद का व्यापक रूप ( x + 1 ) हैं ।

प्रत्येक धन पूर्णाक n के लिए ( x + a )^n का प्रसार द्विपद प्रमेय कहलाता है ।

$\bf \: Solution -$

हल :-

$(1 + a) {}^{m + n}$के प्रसार का ( r + 1 ) वाँ पद

$= {}^{m + n} C_r \times {a} \: ^{r}$

इसमे r = m रखने पर ,

${a}^{m}$का गुणांक = ${}^{m + n} C_m$

पुनः इसमें r = n रखने पर ,

${a}^{ n}$ का गुणांक

$\bf ^{m + n}C _{n} \\ \\ \bf \: ^{m + n}C _{(m + n) - n} \\ \\ \\ \bf ^{m + n}C _{m}$

अतः ${a}^{m}$ का गुणांक = ${a}^{ n}$का गुणांक

Proved,,,