Question

आकृति 10.13 में XY तथा $X' Y'$, O केंद्र वाले किसी वृत्त पर दो समांतर स्पर्श रेखाएँ हैं और स्पर्श बिंदु C पर स्पर्श रेखा AB, XY को । तथा $X' Y'$ को B पर प्रतिच्छेद करती है। सिद्ध कीजिए कि $\angle AOB = 90^{o}$ है ।

Answer 1

XY तथा $X'Y'$, O केंद्र वाले किसी वृत्त पर दो समांतर स्पर्श रेखाएँ हैं और स्पर्श बिंदु C पर स्पर्श रेखा AB, XY को । तथा $X' Y'$ को B पर प्रतिच्छेद करती है।
हमें सिद्ध करना है : $\angle{AOB}=90^{\circ}$

प्रमाण : अब, ∆POA तथा ∆COA से,
OP = OC [ त्रिज्या हैं ]
AP = AC [एक ही बिंदु से खिंची गई दो स्पर्श रेखाओं के माप बराबर होते हैं ]
AO [ उभयनिष्ठ रेखाखण्ड है ]
अतः, SSS सर्वांगसमता के कसौटी के आधार पर,
∆POA $\cong$ ∆COA
अतः, $\angle{POA}=\angle{AOC}$.....(1)

इसी प्रकार, ∆OQB $\cong$ ∆OCB
∠QOB = ∠COB.......(2)

अब, POQ वृत के व्यास हैं |
अतः, ∠POA + ∠COA + ∠COB + ∠QOB = 180°
समीकरण (1) और (2) से,
2∠COA + 2 ∠COB = 180°
∠ COA + ∠ COB = 180° / 2
∠COA + ∠COB = 90°
∠AOB = 90°